Применение различных способов для разложения на множители - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: развить навыки разложения выражений на множители.

Планируемые результаты: научиться использовать различные приемы разложения выражений на множители.

Тип уроков: урок-исследование, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Является ли целым выражением сумма одночленов, многочленов? Приведите примеры.

2. Упростите выражение

3. Представьте в виде многочлена выражение

Вариант 2

1. Является ли целым выражением частное от деления одночленов, многочленов? Приведите примеры.

2. Упростите выражение

3. Представьте в виде многочлена выражение

III. Работа по теме уроков

При разложении на множители многочленов ранее уже использовались три основных способа:

1) вынесение общего множителя за скобки;

2) группировка членов, имеющих общий множитель;

3) применение формул сокращенного умножения.

В основном при разложении на множители используются сочетания указанных способов. При этом преобразование выражения надо начинать (если это возможно) с наиболее простого способа — вынесения общего множителя.

Пример 1

Разложим на множители многочлен 5а – 40a⁴.

Видно, что члены многочлена имеют общий множитель 5а. Вынесем его за скобки:

Многочлен 1 - 8а³ представляет собой разность кубов числа 1 и одночлена 2а и также может быть разложен на множители:

Таким образом, данный многочлен имеет вид т. е. многочлен разложен на множители — одночлен 5а и многочлены 1 - 2а и 1 + 2а + 4а².

Пример 2

Разложим на множители многочлен 12х³ - 12х² + 3х.

Все члены многочлена имеют общий множитель 3х. Вынесем его за скобки:

Многочлен 4х² - 4х + 1 является квадратом двучлена 2х - 1, т. е. 4х² - 4х + 1 = (2х - 1)².

Таким образом, данный многочлен имеет вид 12х³ - 12х² + 3х = 3х(2х - 1)², т. е. многочлен разложен на множители — одночлен 3х и два многочлена 2х - 1 (или квадрат многочлена 2х - 1).

Пример 3

Разложим на множители многочлен

Сначала вынесем за скобки общий множитель 2х² и получим

Теперь разложим на множители многочлен а² + 3а - ab – 3b. Для этого сгруппируем первый член с третьим и второй член с четвертым. Получаем

Таким образом, данный многочлен имеет вид т. е. многочлен разложен на множители — одночлен 2х² и многочлены а - b и а + 3.

Пример 4

Разложим на множители многочлен 12ах + 36 - 4а² - 9х².

Сгруппируем первый, третий и четвертый члены многочлена: 36 + (12ах - 4а² - 9х²). Из второго слагаемого вынесем общий множитель -1 и получим 36 - (4а² - 12ах + 9х²). Выражение в скобках является квадратом разности. Поэтому получаем 6² - (2а - 3х)². Используя формулу разности квадратов, разложим выражение на множители:

Таким образом, данный многочлен можно записать в виде т. е. многочлен разложен на множители — многочлены 6 - 2а + 3х и 6 + 2а - 3х.

Напомним, что иногда для разложения многочлена на множители удобно некоторые его члены представить в другом виде или ввести дополнительные члены.

Пример 5

Разложим на множители многочлен х³ - х² - 2х.

Прежде всего, вынесем общий множитель х за скобки:

Затем разложим на множители квадратный трехчлен х² - х - 2. Для этого последний член -2 представим в виде -2 = -1 - 1 и выполним группировку членов:

Используя формулу разности квадратов, разложим первое слагаемое на множители:

Поэтому данный многочлен имеет вид т. е. многочлен разложен на множители — одночлен х и два двучлена х + 1 и х - 2.

Пример 6

Разложим на множители многочлен х⁴ + х² + 1.

Для разложения данного многочлена на множители дополним его до квадрата суммы. Для этого прибавим и вычтем х². Получаем

Таким образом, данный многочлен имеет вид т. е. многочлен четвертой степени разложен на множители — два многочлена второй степени х² - х + 1 и х² + х + 1.

Заметим, что разложение многочлена на множители подразумевает его представление в виде произведения нескольких многочленов. Так как при разложении многочленов на множители школьники часто допускают ошибки, то решим еще один пример.

Пример 7

Рассмотрим еще раз квадратный трехчлен х² - х - 2 из примера 5. Его разложением является представление х² - х - 2 = (х + 1)(х - 2), т. е. в виде произведения двух многочленов первой степени х + 1 и х - 2. Очень часто в работах школьников встречаются следующие “разложения” на множители:

не является разложением, так как второй множитель не имеет целых коэффициентов;

не является разложением, так как не представлено произведение множителей (из произведения х(х - 1) вычитается число 2);

не является разложением, так как множитель не является многочленом.

Не каждый многочлен может быть разложен на множители. Например, нельзя разложить на множители многочлены 2х² + 4, 3х² + 5х + 3 и т. д.

IV. Задания на уроках

№ 934 (б), 936 (в), 938 (а), 939 (а, б), 940 (а), 942 (в, г), 944 (а, в), 946 (а, б), 950, 952.

V. Контрольные вопросы

— Перечислите основные способы разложения многочленов на множители.

— Охарактеризуйте каждый способ разложения многочленов на множители.

VI. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 934 (в), 936 (г), 937, 938 (б), 939 (в, г), 940 (б), 942 (а, б), 944 (б, г), 946 (в, г), 949, 953.