Применение преобразований целых выражений - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: развить навыки преобразования целых выражений для решения различных алгебраических задач.

Планируемые результаты: использовать преобразования целых выражений в различных задачах.

Тип уроков: уроки-практикумы.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Разложите на множители:

2. Решите уравнение 25у⁴ - у² = 0.

Вариант 2

1. Разложите на множители:

2. Решите уравнение 4Х⁴ - х² = 0.

III. Работа по теме уроков

Ранее преобразования целых выражений использовались для упрощения вычислений и решения уравнений. Разумеется, область применения тождественных преобразований гораздо шире. Рассмотрим другие примеры применения преобразования целых выражений.

Пример 1

Докажем, что выражение не зависит от переменной а, и найдем его значение.

Легко заметить, что в выражение А входят квадраты выражений. Поэтому используем формулу квадрата суммы и получим

Таким образом, выражение А не зависит от переменной а и его значение равно 4.

Пример 2

Докажем, что при любом значении х значения многочлена х² - 8х + 20 больше 3.

В данном многочлене выделим квадрат разности. Для этого представим число 20 в виде суммы двух слагаемых: 20 = 16 + 4. Тогда многочлен имеет вид При всех значениях х значения выражения (х - 4)² неотрицательны. Если к этому выражению прибавить число 4, то значения выражения (х - 4)² + 4 будут больше или равны 4 и, соответственно, больше 3.

Пример 3

Докажем, что при всех целых значениях п значение выражения кратно 8.

Используя формулу разности квадратов, упростим данное выражение:

Так как величина n является целым числом, то и n + 2 — целое число. Поэтому при всех целых n значение выражения 8(n + 2) кратно 8.

Пример 4

При каких значениях переменных x и у значение выражения наибольшее? Найдем это значение.

В данном выражении выделим квадраты суммы или разности. Прежде всего, в многочлене А вынесем за скобки множитель (-1) и получим Член 2х² представим в виде суммы: 2х² - х² + х², число 1 — в виде разности: 1 = 4 - 3.

Получаем

Многочлен А представлен в виде разности числа 3 и выражений (х - у)² и (х - 2)². Очевидно, что при всех х и у эти выражения неотрицательны. Следовательно, многочлен А будет наибольшим, если вычитаемые (х - у)² и (х - 2)² минимальны, т. е. (х - у)² = 0 и (х - 2)² = 0. Получаем х - у = 0 и х - 2 = 0, откуда х = у = 2. Итак, наибольшее значение многочлена А равно 3 при х = у = 2.

Разумеется, преобразования целых выражений используются и в задачах на числа.

Пример 5

Докажем, что значение выражения 272³ - 155³ кратно 9 и 13.

Используем формулу разности кубов и преобразуем данное числовое выражение:

Данное выражение является произведением числа 117 и числового выражения (которое является натуральным числом). При этом число 117 кратно и 9, и 13. Следовательно, данное число также кратно 9 и 13.

Пример 6

Определим, является ли число 4 ∙ 100⁸ + 1 простым или составным.

Заметим, что первая цифра в записи этого числа 4, затем идут шестнадцать цифр 0, и последняя цифра 1. В соответствии с признаками делимости это нечетное число не делится на четные числа 2, 4, 8, 10. Также оно не делится и на нечетные числа 3, 5 и 9. Поэтому для решения задачи использование признаков делимости ничего не дает.

Запишем данное число в виде Для удобства обозначим буквой а число 10⁴, т. е. а = 10⁴. Тогда данное число имеет вид 4а⁴ + 1. Разложим этот многочлен на множители, прибавляя и вычитая выражение 4а². Получаем

Подставим в это произведение значение а и получим

Данное число представлено в виде произведения двух чисел, каждое из которых не равно 1 и данному числу. Тогда по определению данное число является составным.

IV. Задания на уроках

№ 990 (а), 991 (б), 992 (а, б), 994 (а), 996, 998 (б), 1001 (а), 1005 (б), 1006 (а), 1008, 1013 (а, б), 1021 (а-в), 1023 (б).

V. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 990 (б), 991 (а), 992 (в, г), 994 (б), 997, 998 (а), 1001 (б), 1005 (а), 1006 (б), 1013 (в, г), 1021 (г-е), 1023 (а).