Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Контрольная работа № 8 по теме Формулы сокращенного умножения - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.

Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Общая характеристика контрольной работы

Контрольная работа составлена в шести вариантах (варианты 1, 2 — самые простые, варианты 3, 4 — средней сложности, варианты 5, 6 — самые сложные). Степень сложности меняется не слишком резко, поэтому можно рекомендовать следующий критерий оценки: при выполнении вариантов 1, 2 оценка “3” ставится за любые три решенные задачи, оценка “4” — за четыре задачи и оценка “5” — за пять задач. Одна задача дает учащимся некоторую свободу выбора. При тех же критериях оценки за решение задач вариантов 3, 4 к набранным баллам добавляются дополнительно 0,5 балла, за решение задач вариантов 5, 6 — дополнительно 1 балл (т. е. оценка “5” выставляется уже за четыре задачи). Все задачи в варианте примерно равноценны. Возможно, несколько труднее для учеников задачи 5, 6.

Перед проведением контрольной работы учащихся целесообразно ознакомить с критериями оценки и разной сложностью вариантов. Выбор вариантов может быть осуществлен учителем или предоставлен ученикам (в этом случае предполагается наличие копировальной техники в школе и избыточное количество заданий). При наличии такой техники в классе на стенде (после контрольной) может быть вывешено решение всех задач шести вариантов.

Контрольная работа рассчитана на один урок.

III. Контрольная работа

Вариант 1

1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

2. Разложите на множители многочлен:

3. Решите уравнение

4. Докажите, что выражение может принимать только неотрицательные значения.

5. Постройте график функции

6. Докажите, что число 14⁴ - 145² кратно 3 и 17.

Вариант 2

1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

2. Разложите на множители многочлен:

3. Решите уравнение

4. Докажите, что выражение может принимать только неотрицательные значения.

5. Постройте график функции

6. Докажите, что число 15⁴ - 168² кратно 3 и 19.

Вариант 3

1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

2. Разложите на множители выражение:

3. Решите уравнение

4. Найдите наименьшее значение выражения

5. Постройте график функции

6. Докажите, что число кратно 31.

Вариант 4

1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

2. Разложите на множители выражение:

3. Решите уравнение

4. Найдите наименьшее значение выражения

5. Постройте график функции

6. Докажите, что число кратно 39.

Вариант 5

1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

2. Разложите на множители выражение:

3. Решите уравнение

4. Найдите наибольшее значение выражения

5. Постройте график функции

6. При любом натуральном значении n найдите остаток от деления значения выражения на 6.

Вариант 6

1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

2. Разложите на множители выражение:

3. Решите уравнение

4. Найдите наибольшее значение выражения

5. Постройте график функции

6. При любом натуральном значении п найдите остаток от деления выражения на 6.

IV. Подведение итогов контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результаты решения. Удобно данные заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи	Итоги
№ задачи	+	±	-	Ø
1	5	1	1	1
2
...
6

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно;

± — число решивших задачу со значительными погрешностями;

- — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу.

Варианты 1, 2 — 8 учащихся.

2. Типичные ошибки при решении задач.

3. Задачи, вызвавшие наибольшие трудности.

V. Разбор задач (ответы и решения)

Вариант 1

3. х = -3.

4. Доказано.

5. Прямая у = х - 2, х ≠ -1.

6. Доказано.

Вариант 2

3. х = -6.

4. Доказано.

5. Прямая у = х + 2, х ≠ 1.

6. Доказано.

Вариант 3

3. х = 1.

4. 7.

5. Прямая у = 2х + 1, х ≠ -2.

6. Доказано.

Вариант 4

3. х = 3.

4. 6.

5. Прямая у = 2х - 1, x ≠ 2.

6. Доказано.

Вариант 5

1. Используем формулы сокращенного умножения и преобразуем данное выражение в многочлен стандартного вида.

а) Применяя формулу куба суммы, получим

б) В выражении (а + b + 2)² будем рассматривать сумму а + b как одно число и используем формулу квадрата суммы. Получаем

в) В выражении (-3x - 2у)(3х - 2у) вынесем множитель (-1) из первого множителя и применим формулу разности квадратов. Получаем

2. Используем формулы сокращенного умножения и разложим выражение на множители.

а) Воспользуемся формулой разности квадратов и получим

б) Сгруппируем члены в данном выражении и используем формулы квадрата разности и разности квадратов. Получаем

3. Преобразуем уравнение Для этого используем формулы куба суммы и разности квадратов и получим или

Приведем подобные члены: 12х + 9 = 0, отсюда

(Ответ: x = -3/4.)

4. В данном выражении выделим квадрат разности. Для этого член -2у² представим в виде -у² - у² и сгруппируем члены. Получаем

Данное выражение представляет собой разность числа 7 и двух неотрицательных величин у² и (у - 2х)². Очевидно, что данное выражение будет наибольшим, если вычитаемые величины минимальны (т. е. равны нулю), откуда у = 0 и у - 2х = 0 (тогда х = y/2 = 0).

Итак, при х = у = 0 данное выражение имеет наибольшее значение, равное 7.

(Ответ: 7.)

5. При построении графика функции учтем, что знаменатели дробей не равны нулю (т. е. х - 1 ≠ 0 и х + 2 ≠ 0), откуда х ≠ 1 и х ≠ -2. Числитель первой дроби является квадратом разности, числитель второй дроби — квадратом суммы. Поэтому можно сократить дроби. Получаем

Итак, строим график линейной функции у = 2х + 1 (прямая линия). Удаляем из этого графика две точки с абсциссами х = 1 и х = -2 (показаны стрелками).

6. Используя формулу разности квадратов, преобразуем данное выражение:

Так как при всех натуральных п выражение 6п кратно 6, то остаток от деления выражения 6n + 9 на 6 равен остатку от деления числа 9 на число 6. Такой остаток равен 3.

(Ответ: 3.)

Вариант 6

1. Используем формулы сокращенного умножения и преобразуем данное выражение в многочлен стандартного вида.

а) Применяя формулу куба суммы, получим

б) В выражении (2а + b + 1)² будем рассматривать сумму 2а + b как одно число и использовать формулу квадрата суммы. Получаем

в) В выражении (-2х - 5у)(2х - 5у) вынесем множитель (-1) из первого множителя и применим формулу разности квадратов. Получаем

2. Используя формулы сокращенного умножения, разложим выражение на множители.

а) Воспользуемся формулой разности квадратов и получим:

3. Преобразуем уравнение (х - 1)³ - х²(х - 4) - (х - 2)(х + 2) = 0. Для этого используем формулы куба суммы и разности квадратов и получаем или

Приведем подобные члены: 3х + 3 = 0, откуда х = -1.

(Ответ: х = -1.)

4. В данном выражении выделим квадрат разности. Для этого член -5у² представим в виде -у² - 4у² и сгруппируем члены. Получаем

Данное выражение представляет собой разность числа 5 и двух неотрицательных величин у² и (2у - 3х)². Очевидно, что данное выражение будет наибольшим, если вычитаемые величины минимальны (т. е. равны нулю), откуда у = 0 и 2у - 3х = 0 (тогда х = 2/3 у = 0).

Итак, при х = у = 0 данное выражение имеет наибольшее значение, равное 5.

(Ответ: 5.)

5. При построении графика функции учтем, что знаменатели дробей не равны нулю (т. е. х + 1 ≠ 0 и х - 2 ≠ 0), откуда х ф -1 и х * 2. Числитель первой дроби является квадратом суммы, числитель второй дроби — квадратом разности. Поэтому можно сократить дроби. Получаем

Итак, строим график линейной функции у = 2х - 1 (прямая линия). Удаляем из этого графика две точки с абсциссами х = -1 и х = 2 (показаны стрелками).

6. Используя формулу разности квадратов, преобразуем данное выражение:

Так как при всех натуральных n выражение 6n кратно 6, то остаток от деления выражения 6n + 9 на 6 равен остатку от деления числа 9 на число 6. Такой остаток равен 3.

(Ответ: 3.)

VI. Подведение итогов урока