РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ - Урок 13 - СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели деятельности учителя

Создать условия для обучения учащихся решению задач на построение с помощью циркуля и линейки, для подготовки к контрольной работе

Термины и понятия

Угол, окружность, дуга окружности, отрезок, искомый треугольник

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Закрепляют систематические знания о плоских фигурах и их свойствах; владеют умениями применять систематические знания о них для геометрических и практических задач, решать задачи на построение

Познавательные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: осуществляют контроль по результату и по способу действия на уровне произвольного внимания и вносят необходимые коррективы; умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем, в группе.

Личностные: осознают важность и необходимость изучения предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Задание для фронтальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать знания

(Ф/И)

1. Проверить выполнение домашнего задания. Для этого вызвать к доске двоих учащихся.

№ 294.

Дано:

Построить ΔАВС: АВ = b, АС = a, CD = с, CD ⊥ АВ.

Анализ:

Ход построения:

1) Прямой угол D;

2) на одной стороне отложить отрезок DC = h;

3) окружность с центром в точке С и R = а;

4) окружность пересечет другую сторону прямого ∠D в точке А;

5) отложить АВ = b;

6) ΔАВС - искомый.

№ 295.

Дано:

Построить ΔАВС.

Анализ:

Ход построения:

1) Отрезок АВ = а;

2) середина АВ - точка D;

3) окружность с центром в точке D и R = m и окружность с центром в точке А и R₁ = b;

4) окружности пересекаются в точке С;

5) соединить отрезком точки В и С;

6) ΔАВС - искомый.

2. Сообщить результаты самостоятельной работы

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач

(Г) Организует деятельность учащихся.

1. Решить задачи по группам: № 301, 302, 308, 315, 316 (можно предложить группам самим выбрать задачу).

(Ф/И)

2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и внешнему углу при вершине острого угла.

Решение:

Начертим данные отрезок PQ и угол hk.

Построение:

1) Проведем прямую, отметим на ней точку В и отложим отрезок ВС, равный PQ.

2) Отложим от луча BD, являющегося продолжением луча ВС, угол DBM, равный углу hk.

3) Построим прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную к прямой ВМ, и обозначим буквой А точку пересечения этой прямой с лучом ВМ. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство (устно):

По построению треугольник АВС - прямоугольный, гипотенуза ВС равна данному отрезку PQ и внешний угол ABD треугольника равен данному углу hk. Таким образом, построенный треугольник А ВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Указание: задача имеет решение только в том случае, когда данный угол hk тупой. Желательно, чтобы учащиеся сами обосновали справедливость этого утверждения

№ 301.

Дано: АН ⊥ а, АМ₁, АМ₂ – наклонные.

а) Доказать: АМ₁ = АМ₂, если НM₁ = НМ₂.

Рассмотрим ΔАНМ₁ и ΔАНМ₂: АН - общая, НМ₁ = НМ₂ (по усл.), ΔАНМ₁ = ΔАНМ₂ (по катетам), тогда АМ₁= АМ₂, что и требовалось доказать.

б) Доказать: АМ₁ < АМ₂, если НМ₁ < НМ₂.

1) В ΔАНМ₁: ∠H = 90°, значит, ∠1 - острый.

2) B ΔАНМ₂: ∠H = 90°, значит, ∠2 - острый.

3) В ΔАМ₁М₂: ∠2 - острый, ∠3 - тупой (как смежный с острым), значит АМ₂ > АМ₁, что и требовалось доказать.

№ 302.

Дано: АН ⊥ а, АМ₁, АМ₂ – наклонные.

а) Доказать: НМ₁ = НМ₂, если АМ₁ = AM₂.

Рассмотрим ΔАНМ₁ и ΔAHM₂: АН - общая, АМ₁ = AM₂ (по усл.), ΔАНМ₁ = ΔАНМ₂ (по катету и гипотенузе), тогда НМ₁ = НМ₂.

б) Доказать: НМ₁ < НМ₂, если АМ₁ < АМ₂.

1) Примем НМ₁ не < НМ₂, то есть НМ₁ > НМ₂ или НМ₁ = НМ₂.

2) Если НМ₁ = НМ₂, то получим результат аналогично 301 (а), что противоречит условию АМ₁ < АМ₂, значит, предположение НМ₁ = НМ₂ неверно.

3) Если НМ₁ > НМ₂, то, по 301 (б), получим АМ₁ > АМ₂, значит, предположение НМ₁ > НМ₂ неверно.

Вывод: НМ₁ < HM₂.

№ 308.

Дано: ΔABC - равнобедренный, АС = 37 см - основание, внешний угол при вершине В равен 60°.

Найти: расстояние от вершины С до прямой АВ.

Решение:

1) ΔАВС - равнобедренный; по задаче 232,2∠A = 60°, следовательно, ∠А = 30°.

2) ΔСНА - прямоугольный (по условию), ∠А = 30°, следовательно, по свойству,

№ 315.

Построить при помощи циркуля и линейки угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 75°; и) 105.

а) Ход построения:

1) Возьмем произвольную прямую а и произвольную точку А ∈ а;

2) строим прямую b так, чтобы А ∈ b и а ⊥ b (по задаче о построении перпендикулярных прямых);

3) находим точку В, чтобы В ∈ b и АВ - произвольной длины;

4) строим окружность w с центром в точке В и радиусом, равным 2АВ;

5) окружность w пересекает прямую а в точке О;

6) ΔABC - искомый.

Доказательство:

ΔАОВ - прямоугольный (по построению) и АВ = 1/2ОВ (по построению), следовательно, по свойству, ∠AOB = 30°.

6) Угол в 60° построен в п. а) одновременно с углом в 30° (это ∠OBA).

в) Построенный в п. а) угол в 30° следует разделить пополам (по задаче о построении биссектрисы угла).

г) Поскольку 120° =180°- 60°, этот угол построен в п. а) - это угол, смежный ∠ABO.

д) Поскольку 150° = 180° - 30°, этот угол построен в п. а) - это угол, смежный ∠AOB.

е) Поскольку 135° = 90° + 45°, следует построить две перпендикулярных прямых и один из полученных прямых углов разделить пополам (по задаче о построении биссектрисы угла).

ж) Поскольку 165° = 180° - 15°, это угол, смежный построенному в п. в). Необходимо построить перпендикуляр к одной из сторон построенного угла, проходящий через его вершину. Один из полученных углов составит 75°.

и) Поскольку 105° = 90° + 15°, это другой из углов, полученных в п. ж).

№ 316.

Дано: P₁Q₁ - сторона, P₂Q₂ - высота к P₁Q₁, P₃Q₃ - медиана.

Построить: ΔABC (СН = P₂Q₂, АМ = P₃Q₃, АВ = P₁Q₁).

Ход построения:

Строим две параллельные прямые, расположенные друг от друга на расстоянии, равном данной высоте треугольника. На одной из прямых отмечаем точку А и откладываем отрезок АВ, равный данной стороне треугольника. Строим окружность с центром А и радиусом, вдвое большим данной медианы треугольника. Строим середину М отрезка AD, где D - точка пересечения окружности и второй прямой, и проводим прямую ВM до пересечения со второй из параллельных прямых в точке С. ΔАВС - искомый

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Обычно мы заканчиваем урок, оценивая свою работу и работу товарищей. Объективно оценить себя - самое сложное. Об этом сказал А. де Сент-Экзюпери: “Суди себя сам. Это самое трудное. Себя судить куда труднее, чем других. Если ты сумеешь правильно судить себя, значит, ты поистине мудр”

(И) Домашнее задание: решить задачи № 314, 317; подготовиться к контрольной работе