ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ - НЕРАВЕНСТВА

Цели: изучить основные приёмы доказательства неравенств; сформировать умение доказывать сложные неравенства различными приёмами.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

1. Сформулировать определение: число а больше числа b, если разность а - b - положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b - отрицательное число.

2. Сформулировать основные свойства числовых неравенств:

Теорема 1. Если а > b, то b < а; если а < b, то b > а.

Теорема 2. Если а < b и b < с, то а < с.

Теорема 3. Если а < b и с - любое число, то а + с < b + с.

Теорема 4. Если а < b и с > 0, то ас < bс;

Если а < b и с < 0, то ас > bс.

Следствие. Если а > 0 и b > 0 и а < b, то

3. Сформулировать правила почленного сложения и умножения числовых неравенств.

Теорема 5. Если а < b и с < d, то а + с < b + d.

Теорема 6. Если а < b и с < d, где a, b, с, d - положительные числа, то ас < bd.

Следствие. Если а > 0, b > 0 и а < b, то аⁿ < bⁿ, где n є N.

II. Изучение нового материала.

1. Сначала показываем отличие заданий “решить неравенство” и “доказать неравенство”. В первом случае мы выполняем равносильные преобразования исходного неравенства, получаем более простое неравенство и находим те значения переменной, которые обращают неравенство в верное числовое неравенство (или доказываем, что таких значений нет).

В заданиях на доказательство неравенства в условии есть утверждение, что данное неравенство верно при любых значениях переменной либо при некоторых значениях (задано заранее множество значений переменной), и необходимо это утверждение доказать.

2. Доказательства проводятся с помощью различных приёмов, некоторые из которых знакомы учащимся.

1-й приём. Составляем разность левой и правой частей неравенства и показываем, что она сохраняет знак при любых указанных значениях переменных.

Рассматриваем данный приём на примере 1 со с. 193 учебника.

2-й приём. Показываем, что данное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых известна.

К таким неравенствам (их ещё называют “основными” и “базовыми”) относятся:

и др.

Рассматриваем данный приём на примере 2 со с. 193-194 учебника.

3-й приём. В отдельных случаях можно доказать неравенство, используя некоторые очевидные соотношения.

В качестве таких очевидных соотношений могут быть взяты, например, такие: при любом при при х ≥ -1 и т. п.

Рассматриваем данный приём на примерах 3 и 4 со с. 194-195 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

При доказательстве неравенств можно использовать любые предложенные приёмы, следует поощрять осознанный выбор того или иного приёма.

При рассмотрении задач на доказательство неравенств у учащихся может возникнуть представление об оторванности таких задач от потребностей практики. Чтобы этого не произошло, необходимо решать также прикладные задачи на неравенства.

№ 905 (а).

Составим разность:

Имеем:

для любых а и и, значит, Неравенство доказано.

№ 907 (а).

Составим разность

значит, при a > 0, b > 0. Неравенство доказано.

№ 909.

Доказать, что для любых а > 0, b > 0.

Составим разность

значит, неравенство доказано.

№ 912.

Воспользуемся соотношениями.

Имеем:

значит,

Аналогично докажем, что

Имеем:

Значит, что и требовалось доказать.

№ 914.

Анализ:

Пусть х км/ч - намеченная скорость велосипедиста, обозначим путь за 1, тогда, по расчетам, он должен был затратить на весь путь, а на самом деле затратил

Велосипедист успеет к сроку, если Докажем это.

Составим разность:

так как х > 2.

Имеем: значит, велосипедист не успел вернуться к назначенному сроку.

Ответ: не успел.