Наибольшее и наименьшее значения функции - ОБОБЩАЮЩЕЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА - 2-е полугодие

УРОК № 6

Тема. Наибольшее и наименьшее значения функции

Цели: повторить в ходе решения задач правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; закрепить навык решения различных прикладных задач..

Ход урока

I. Проверочной работа (10-12 мин.

Вариант I .

Исследовать функцию и построить её график

Вариант II

Исследовать функцию и построить её график

II. Решение задач

1. Повторить правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0].

Решение

Функция у(х) непрерывна на области определения х ≠ 1.

Критическая точка х = 3 не принадлежит отрезу [-2;0].

3. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наименьший периметр, если его площадь равна 9 га.

Решение .

S = 9 га. = 90000 кв. м. Пусть стороны прямоугольника равны х м. и b м., тогда S = х · b = 90000, отсюда b = 90000/x, где х > 0.

Найдём периметр участка,

не удовлетворяет условию x > 0.

Рис. 54

Р'(х) < 0 на (0; 300); Р'(х) > 0 на (300;+∞). Значит, х = 300 является точкой минимума. При размерах участка 300 м и 300 м его периметр будет наименьшим. Ответ: 300 м и 300 м.

4. В основании пирамиды МАВС - прямоугольный треугольник, у которого АВ - гипотенуза. МА (ABC), АВ = м, МА = АС. Какова должна быть высота пирамиды, чтобы объем был наибольшим?

Решение

Пусть ВС = х. Из ΔABC по теореме Пифагора найдем

Рис. 55

По смыслу задачи 0 < х < > , т. к. ВС < АВ.

Исследуем функцию V(x) на (0;). На этом промежутке функция непрерывна и дифференцируема. Найдем критические точки функции:

Рис. 56

При переходе через точку х = 1 знак производной изменяется с плюса на минус, следовательно, х = 1 есть точка максимума. Максимум функции в этой точке есть её наибольшее значение, т. к. в промежутке (0;) этот максимум единственный.

Объём пирамиды наибольший при высоте м.

Ответ: м.

5. Периметр осевого сечения конуса равен 10 дм. Найти наибольший возможный объём этого конуса.

Решение

Пусть DC = х, тогда ВС = (5 - х). Из ΔBCD найдем

Рис. 57

Рассмотрим функцию Точка максимума V(x) является точкой максимума для f(x) в силу возрастания функции y = .

Найдём критические точки функции:

Функция f(x) непрерывна и дифференцируема на множестве всех действительных чисел; рассмотрим её на отрезке [0;2,5].

6. Самостоятельно: найти наибольшее значение функции на отрезке [-3;3]. Ответ: 1.

III. Итоги урока

IV. Домашнее задание: повторить § 7 и § 8 темы «Первообразная» и «Интеграл»; решить на стр. 295 № 236, № 237 и № 242.