Поурочные разработки по алгебре для 8 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Деление рациональных дробей - ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ - РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Цель: рассмотреть более сложные задачи, связанные с делением рациональных дробей.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Выполните деление

2. Разделите дроби

3. Упростите выражение

Вариант 2

1. Выполните деление

2. Разделите дроби

3. Упростите выражение

III. Изучение нового материала (основные понятия)

С делением рациональных дробей связано значительное число самых разнообразных задач.

Пример 1

Найдите допустимые значения переменной дробного выражения Представьте это выражение в виде дроби.

Числитель этого выражения имеет смысл при всех значениях х, кроме х = -2 (т. к. делить на нуль нельзя). Упростим это выражение: Знаменатель этого выражения имеет смысл при всех значениях х, кроме х = -3. Преобразуем это выражение: Эта дробь обращается в нуль, если ее числитель 2(3х + 8) = 0. Из этого уравнения найдем х = -8/3.

Теперь разделим числитель данного выражения на знаменатель используя правило деления дробей. Имеем: Итак, данное выражение имеет смысл при всех значениях х таких, что х ≠ -2, х ≠ -3 и х ≠ -8/3. После преобразований данное выражение записано в виде рациональной дроби

Пример 2

Известно, что Найдите величину

По определению частного из равенства получаем: 4b + a = 3(b + a) или 4b + a = 3b + 3a, откуда b = 2а. Теперь найдем величину подставив величину b = 2a. Имеем:

Пример 3

Известно, что Докажите, что

Обозначим отношения a/b и c/d буквой х. Из равенства a/b = х получим a = bх, из равенства c/d = х имеем c = dx. Найдем отношение и отношение Сравнивая полученные отношения (равные одной и той же дроби ), видим, что

Пример 4

При каких натуральных значениях n выражение является целым числом?

В дроби выделим целое выражение. Для этого в числителе дроби надо выделить слагаемое пропорциональное знаменателю Тогда, учитывая правило вычитания дробей, можем записать: Число 2 является целым. Поэтому, чтобы данная дробь была целым числом, надо, чтобы дробь являлась целым числом. Это возможно только в том случае, если натуральное число n + 2 будет делителем числа 9. Число 9 имеет три натуральных делителя: 1, 3 и 9.

Рассмотрим эти случаи. При n + 2 = 1 получаем n = -1 (число отрицательное), что противоречит условию задачи. Для n + 2 = 3 находим n = 1. При n + 2 = 9 имеем n = 1. Итак, только при натуральных значениях n = 1 и n = 7 дробь является целым числом. Убедимся в этом. Для n = 1 данная дробь равна (целое число), при n = 7 дробь равна (также целое число).

Пример 5

Найти целую и дробную часть в выражении

Аналогично предыдущей задаче в числителе дроби надо выделить слагаемые пропорциональные знаменателю, сгруппировав его члены. Получаем:

Тогда, учитывая правило сложения дробей, данное выражение можно записать в виде: Таким образом, данное выражение состоит из целой части 3х2 + 5х +1 и дробной части

Заметим, что в примерах 4 и 5 фактически было проведено деление одного многочлена на другой. Вопрос о делимости многочленов будет рассмотрен на следующем уроке.

IV. Задание на уроке и дома

1. Найти допустимые значения переменной и упростить дробь: