Квадратный корень из степени - СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ - КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Цель: рассмотреть извлечение квадратного корня из степени числа.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Сформулируйте и запишите теорему о квадратном корне из произведения чисел.

2. Вычислите значение выражения:

Вариант 2

1. Сформулируйте и запишите теорему о квадратном корне из частного.

2. Вычислите значение выражения:

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Сначала рассмотрим числовые примеры. Найдем значение выражения при х = 8 и при х = -7. Получаем: В каждом из этих примеров корень из квадрата числа равнялся модулю этого числа: Обобщим результаты этих примеров и докажем теорему.

Теорема: при любом значении х верно равенство

Рассмотрим два случая.

а) Если x ≥ 0, то по определению арифметического корня Так как х ≥ 0, то х = |х| и равенство может быть записано в виде

б) Если х < 0, то величина -х > 0 и получаем Так как х < 0, то -x = |х| и равенство можно записать в виде

Значит, при любом значении х выполнено равенство

Такое тождество очень часто применяется при извлечении квадратного корня из степени с четным показателем. При этом, чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, надо представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и использовать рассмотренное тождество.

Пример 1

Извлечем корень

Представим степень а8 в виде квадрата степени а4, т. е. a8 = (a4)2 и используем тождество: Учтено, что при всех значениях а величина а4 ≥ 0 и |а4| = а4.

Пример 2

Извлечем корень при с < 0.

Представим с6 в виде с6 = (c3)2 и используем тождество. Получаем Учтено, что с < 0, тогда с3 < 0 и |с3| = -с3 (по определению модуля).

Пример 3

Найдем значение выражения

Разложим число 63504 на произведение простых множителей и получим: 63504 = 24 · 34 · 72. Теперь найдем

Полученное тождество позволяет решать и более сложные задачи.

Пример 4

Найдем значение выражения

Учтем теорему о корне из произведения и формулу разности квадратов.

Получаем:

Пример 5

Докажем, что значение выражения является целым числом.

В каждом подкоренном выражении выделим квадраты разности чисел: Теперь преобразуем данное выражение: Было учтено, что (для оценок можно считать ). Поэтому Итак, значение данного выражения является целым (и даже натуральным) числом 2.

Пример 6

Решим уравнение

Учтем, что подкоренное выражение является полным квадратом разности. Поэтому получаем: Если модуль некоторой величины равен 5, то сама величина будет равна ±5. Имеем два линейных уравнения: x - 3 = 5 (корень х = 8) и х - 3 = -5 (корень х = -2). Итак, данное уравнение имеет два корня х = 8 и х = -2.

Пример 7

Докажем, что при х ∈ [-1; 4] значения выражения не зависят от величины х.

Подкоренные выражения являются квадратами суммы и разности соответственно. Преобразуем данное выражение: Учтено, что при х ∈ [-1; 4] величина х + 1 ≥ 0 и |х + 1| = х + 1; х – 4 ≤ 0 и |х - 4| = -(-х - 4).

Действительно, значения данного выражения равны одному и тому же числу 5 (т. е. не зависят от х).

IV. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите теорему о корне из квадрата числа (выражения).

2. Как извлечь корень из степени с четным показателем?

V. Задание на уроке

№ 384 (а, б); 386 (в); 388 (а, в); 389 (б, в); 391 (б); 393 (в, д, ж); 394 (а, б).

VI. Задание на дом

№ 384 (в, г); 386 (г); 388 (б, г); 389 (г, е); 391 (е); 393 (г, е, з); 394 (в, г).

VII. Творческие задания

1. Найдите значение выражения:

Ответы: а) 2; б) 4; в) 6; г) 5.

2. Упростите выражение:

Ответы:

3. Вычислите:

Ответы: а) 5; б) 6; в) 1; г) 6.

4. Решите уравнение:

Ответы: а) х1 = -2 и х2 = 4; б) х1 = 1 и х2 = 5; в) х1 = 4/3 и х2 = 2; г) х1 = -1 и х2 = 1,5; д) x1 = 0 и х2 = 4; е) х1 = -7 и х2 = 1; ж) х1 = -1/3 и х2 = 1; з) х1 = 0,5 и х2 = 1.

5. Упростите выражение:

Ответы: а) -2х - 2; б) 6; в) -5; г) 2х + 3.

6. Решите неравенство:

Ответы:

VIII. Подведение итогов урока