Основное свойство дроби. Сокращение дробей - РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА - РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Цель: рассмотреть основное свойство дроби и отработать навыки сокращения дробей и приведения дробей к заданному знаменателю.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос + тест).

Вариант 1

1. Какое выражение называется рациональной дробью? Приведите примеры.

2. Найдите значение дроби при х = 0,6.

Ответы: а) 1/36; 6) -1/9; в) -1/18.

3. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

Ответы:

Вариант 2

1. Какие значения переменных называются допустимыми? Приведите примеры.

2. Найдите значение дроби при х = 0,6.

Ответы: а) 2/5; б) 5/4; в) 4/5.

3. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

Ответы:

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Свойства рациональных дробей и операции с ними очень похожи на свойства числовых дробей и действия с ними. Напомним известное вам основное свойство обыкновенной дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная дробь, т. е. равенство верно при любых натуральных значениях a, b и с.

Это равенство справедливо не только при натуральных, но и при любых других значениях переменных а, b и с, при которых знаменатель не равен нулю, т. е. при b ≠ 0 и с ≠ 0. Докажем это утверждение.

Пусть дробь a/b = m. Тогда по определению частного имеем а = bm. Умножим обе части этого равенства на число с и получим ас = (bm) · с. На основании переместительного и сочетательного свойств умножения запишем ас = (bс) · m. Так как b ≠ 0 и с ≠ 0 (т. е. bс ≠ 0), то выразим из этого равенства величину Кроме этого равенства, есть равенство m = a/b. Приравняем правые части этих выражений и получим требуемое равенство

В связи с этим равенством уточним некоторые понятия 7-го класса. Ранее тождеством называлось равенство, которое выполнялось при любых значениях переменных. Тождествами, например, были все формулы сокращенного умножения, свойства сложения и умножения чисел и т. д. Равенство верно при всех значениях переменных, при которых его левая и правая части имеют смысл, т. е. при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства также называют тождествами. Очевидно, что ранее данное понятие тождества является частным случаем более общего определения.

Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными. Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Было доказано, что равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Поэтому по определению это равенство является тождеством. Такое тождество называют основным свойством дроби.

Основное свойство дроби используют для ее приведения к заданному знаменателю.

Пример 1

Приведем дробь к знаменателю 27b5 (т. е. запишем данную дробь в виде дроби со знаменателем 27b5).

В заданном (новом) знаменателе 27b5 выделим в качестве множителя старый знаменатель 3b3, т. е. запишем равенство 27b5 = 3b3 · 9b2. Поэтому, чтобы получить дробь с новым знаменателем 27b5, по основному свойству дроби умножим числитель и знаменатель данной дроби на множитель 9b2. Тогда получим: При этом множитель 9b2 называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю данной дроби .

Пример 2

Приведем дробь к знаменателю 3у - 2х. Видно, что новый знаменатель 3у - 2х и старый знаменатель 2х - 3у отличаются только знаком, т. е. 3у - 2х = -(2х - 3у) = -1 · (2х - 3у). Поэтому умножим числитель и знаменатель данной дроби на дополнительный множитель (-1).

По основному свойству дроби получим:

Пример 3

Приведем дробь к знаменателю 16b2 - 9а2. Учтем, что новый знаменатель по формуле разности квадратов. Поэтому умножим числитель и знаменатель данной дроби на дополнительный множитель -(3a + 4b). По основному свойству дроби имеем: Заметим, что приведение дробей к заданному знаменателю используется при сложении и вычитании дробей.

Поменяем в основном свойстве дроби левую и правую части местами и получим тождество Это равенство позволяет заменить дробь вида более простой тождественно равной дробью a/b, т. е. сократить дробь на общий множитель с числителя и знаменателя.

Пример 4

Сократим дробь .

Видно, что числитель 35а3b2 и знаменатель 7а2b3 дроби имеют общий множитель 7а2b2. Поэтому представим числитель и знаменатель дроби в виде произведений, имеющих один и тот же множитель 7а2b2, и сократим дробь на этот множитель. Получаем: После сокращения дроби получили более простую дробь 5a/b.

Заметим, что при сокращении дроби надо выделять наибольший общий множитель числителя и знаменателя. В рассмотренном примере множитель 7a2b2 был наибольшим. Для выражений 35a3b2 и 7a2b3 число 7 является наибольшим общим делителем чисел 35 и 7, а2 — множитель а в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель, b2 — множитель b также в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель. Поэтому множитель 7а2b2 — наибольший общий множитель числителя и знаменателя.

Если общий множитель числителя и знаменателя будет не наибольшим, то после сокращения на него дроби дробь может быть сокращена еще. Например, если вместо наибольшего общего множителя рассмотреть множитель 7а2b, то получаем: Очевидно, что полученную дробь можно еще раз сократить.

Пример 5

Сократим дробь

Для сокращения дроби разложим ее числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения. Для числителя по формуле разности кубов получаем:

Для знаменателя по формуле разности квадратов имеем: Видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 2а - b, на который сократим дробь:

Разумеется, при сокращении дробей используют и другие способы разложения многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, на множители. В частности, широко используется способ группировки и вынесения общего множителя за скобки.

Сократим дробь

Пример 6

Сократим дробь

В числителе дроби вынесем общий множитель а за скобки и получим: ab + ac = a(b + c). В знаменателе дроби сгруппируем члены и вынесем общий множитель за скобки. Имеем: Видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель b + с, на который сократим данную дробь. Получаем

Так как для этого и дальнейших уроков используется разложение на множители числителя и знаменателя дроби на множители, то напомним основные способы разложения многочленов на множители:

1) вынесение общего множителя за скобки;

2) группировка членов многочлена;

3) использование формул сокращенного умножения.

Напомним также формулы сокращенного умножения:

1) (разность квадратов двух чисел равна произведению разности и суммы этих чисел).

2) (квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

3) (квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

4) (разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы).

Заметим, что неполным квадратом суммы чисел а и b называется выражение а2 + ab + b2 (по аналогии с квадратом (или полным квадратом) суммы чисел а и b, который равен

5) аъ (сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности).

Отметим, что неполным квадратом разности чисел а и b называется выражение a2 - ab + b2 (сравните с полным квадратом разности чисел a и b, который равен

6) (куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа).

7) (куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

IV. Контрольные вопросы

1. Докажите основное свойство дроби.

2. Какое равенство называется тождеством? Приведите примеры.

3. Основные способы разложения многочленов на множители.

4. Формулы сокращенного умножения (рекомендуется опросить нескольких учащихся).

V. Задание на уроке

№ 23 (б, д); 25 (д); 27 (а); 28 (б, г); 29 (а, г); 30 (в); 31 (б); 32 (а); 33 (б, е); 35 (б); 37 (в); 42 (б); 44 (в); 45 (б, д, з).

VI. Задание на дом

№ 23 (а, г, е); 24 (в, е); 25 (а); 27 (б); 28 (а, в); 29 (д, е); 30 (д); 31 (а); 32 (б); 33 (а, г, д, ж); 35 (а г); 36; 37 (а, д); 38 (а, д, ж); 39 (а е); 41 (а); 46 (а, в, д).

VII. Подведение итогов урока