Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями - СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ - РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Цель: изучить сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Сократить дробь:

2. Постройте график функции

Вариант 2

1. Сократите дробь:

2. Постройте график функции

III. Изучение нового материала (основные понятия)

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складываются (вычитаются) их числители, а знаменатель остается тем же.

Пример 1

Сложим и вычтем дроби 5/9 и 2/9. По приведенному правилу получаем:

По тому же правилу складывают и любые дроби с одинаковыми знаменателями, т. е. Докажем, что это равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т. е. при с ≠ 0.

Пусть Почленно сложим эти равенства и получим или По определению частного из равенства a/c = m получаем a = cm, из равенства b/c = n имеем b = сn. Почленно сложив равенства а = cm и b = сn, получим а + b = сm + сn = с(m + n). Так как с ≠ 0, то выразим из этого равенства Итак, имеем два равенства Приравняв правые части этих равенств, получим Таким образом, получено тождество, из которого следует правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Итак, чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Это правило справедливо при сложении любого числа дробей.

Пример 2

Сложим дроби

В соответствии с приведенным правилом получаем:

Пример 3

Спожим дроби

Еще раз используем правило сложения дробей и получим:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению. Докажем, что при любых значениях а, b и с ≠ 0 выполняется тождество . Учтем, что операция вычитания обратна по отношению к сложению. Поэтому достаточно доказать, что сумма дробей равна дроби a/c. Проверим это: Из доказанного тождества следует правило вычитания дробейс одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 4

Вычтем из дроби дробь

Применим приведенное правило вычитания дробей и получим:

Иногда при выполнении сложения или вычитания дробей приходится изменять знак знаменателя одной из дробей и заменять операцию сложения операцией вычитания (или наоборот).

Пример 5

Сложим дроби

Учтем, что знаменатели дробей являются противоположными выражениями. Поэтому изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой дробью (это соответствует умножению числителя и знаменателя дроби на число -1 в соответствии с основным свойством дроби). Получим: После этого сложение данных дробей сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда имеем:

Разумеется, правила сложения и вычитания дробей в ряде случаев удобно использовать совместно.

Пример 6

Упростим выражение:

Применим совместно правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и получим:

Данное выражение имеет смысл при тех значениях а, при которых знаменатель а(а - 3) ≠ 0, т. е. при а ≠ 0 и а ≠ 3.

IV. Контрольные вопросы

1. Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями?

2. Докажите тождество

3. Как вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями?

4. Докажите тождество

V. Задание на уроке

№ 51 (б); 52 (д); 54 (б, е); 55 (а, д); 56 (а); 58 (б); 59 (б, д); 60 (а, г); 61 (а); 64 (в).

VI. Задание на дом

№ 51 (г); 52 (г); 53 (а); 54 (д); 55 (г); 56 (б); 58 (а); 59 (в, е); 60 (в, д); 61 (б); 63 (б); 65 (а, г).

VII. Подведение итогов урока