Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЕГО КОРНИ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: использовать способ выделения квадрата двучлена для решения полных квадратных уравнений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. В перечисленных уравнениях укажите: а) квадратные уравнения, б) неполные квадратные уравнения, в) линейные уравнения:

а) 3х2 - 5х + 7 = 0; .

б) 2х3 - 21х + 7 = 0; .

в) 6х2 - 2х = 0;

г) -2х + 14 = 0; .

д) -3x2 + 14 = 0; .

е) 4х + 7 = 0.

2. Какие корни имеет уравнение ах2 + с = 0?

3. Решите квадратные уравнения:

a) (2x – 1)(3x + 2) = 0; .

б) 2x2 – 3x = 0.

в) 3х2 - 6 = 0; .

г) -5х2 = 0.

Вариант 2

1. В перечисленных уравнениях укажите: а) квадратные уравнения, б) неполные квадратные уравнения, в) линейные уравнения:

а) -7x + 5 = 0; .

б) -2х2 + 3х + 1 = 0; .

в) 4х3 - 13х2 = 0;

г) 3x2 + 5х = 0; .

д) -2х2 - 13 = 0; .

е) 3х -11 = 0.

2. Какие корни имеет уравнение ах2 + bх = 0?

3. Решите квадратные уравнения:

a) (5x – 2)(3x + 1) = 0; .

б) 2х2 - 10 = 0; .

в) 3х2 + 5x = 0; .

г) -4х2 = 0.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений (т. е. таких уравнений, в которых все три коэффициента отличны от нуля) способом выделения квадрата двучлена. Покажем, что такие уравнения можно привести к неполным квадратным уравнениям. Начнем рассмотрение с уравнений, в которых старший коэффициент равен 1. Такие уравнения называют приведенными уравнениями.

Пример 1

Решим приведенное квадратное уравнение х2 - 8х + 16 = 0.

Подставим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена и получим: х2 – 2 · х · 4 + 42 = 0 или (х - 4)2 = 0. Введем новую переменную z = x - 4 и получим неполное квадратное уравнение z2 = 0. Такое уравнение имеет единственный корень (или два одинаковых корня) z = 0. Вернемся к старой неизвестной х и получим линейное уравнение х - 4 = 0, которое имеет корень х = 4.

Пример 2

Решим еще одно приведенное квадратное уравнение х2 + 6х + 8 = 0.

В отличие от предыдущего примера левая часть уравнения не является квадратом двучлена. Поэтому такой квадрат двучлена необходимо выделить. Представим второй член уравнения 6х в виде 6х = 2 · х · 3. Тогда для выделения квадрата двучлена к левой части уравнения необходимо прибавить (и отнять) число 32 = 9. Получаем: (х2 + 6х + 9) - 9 + 8 = 0 или (х + 3)2 - 1 = 0. Введем новую переменную z = х + 3 и получим неполное квадратное уравнение z2 - 1 = 0 или z2 - 1, которое имеет два противоположных по знаку корня z1 = -1 и z2 = 1. Вернемся к старой неизвестной х и получим два линейных уравнения: х + 3 = -1 (его корень х1 = -4) и х + 3 = 1 (корень х2 = -2).

Разумеется, квадратное уравнение может иметь не только целые корни (как в примерах 1, 2), но и иррациональные решения.

Пример 3

Решим уравнение х2 - 4х - 3 = 0.

Вновь выделим в левой части уравнения квадрат двучлена: (х2 - 4х + 4) – 4 - 3 = 0 или (x – 2)2 - 7 = 0. Введем новую переменную z = x - 2 и получим неполное квадратное уравнение z2 - 7 = 0 или z2 = 7, которое имеет два противоположных по знаку корня Вернемся к старой неизвестной х и получим два линейных уравнения: (его корень ) и (его корень ).

Может оказаться, что квадратное уравнение не имеет корней.

Пример 4

Решим уравнение х2 - 6х + 11 = 0.

Выделим в левой части уравнения квадрат двучлена: (х2 - 6х + 9) - 9 + 11 = 0 или (х - 3)2 + 2 = 0. Введем новую переменную z = х - 3 и получим неполное квадратное уравнение z2 + 2 = 0 или z2 = -2, которое не имеет решений. Следовательно, и данное квадратное уравнение корней не имеет.

До сих пор рассматривалось решение только приведенных квадратных уравнений. Разумеется, любое уравнение можно свести к приведенному, разделив все его члены на старший коэффициент. Затем вновь используется выделение квадрата двучлена.

Пример .

Решим уравнение 3х2 - 10х - 8 = 0.

Разделим обе части уравнения на старший коэффициент 3 и получим приведенное квадратное уравнение Выделим квадрат двучлена: или Введем новую переменную z = x – 5/3 и получим неполное квадратное уравнение: z2 – 49/9 = 0 или z2 = 49/9, которое имеет два корня z1 = -7/3 и z2 = 7/3. Вернемся к старой неизвестной х и получим два линейных уравнения: x – 5/3 = -7/3 (его корень х1 = -2/3) и х – 5/3 = 7/3 (его корень х2 = 4).

IV. Контрольные вопросы

1. Каким способом решают квадратные уравнения?

2. Какое квадратное уравнение называют приведенным?

3. Как выделить квадрат разности? Поясните на примере.

V. Задание на уроке

№ 523 (а); 524 (а, в); 525 (а, б); 526 (б, г); 527 (а).

VI. Задание на дом

№ 523 (б); 524 (б); 525 (в, г); 526 (а, в); 527 (б); 528.

VII. Подведение итогов урока