Поурочные разработки по алгебре для 8 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Решение квадратных уравнений по формуле - ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цели: вывод формулы для корней квадратного уравнения и использование этой формулы для решения квадратных уравнений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Способом выделения квадрата двучлена решите уравнение:

1) х2 + 10х + 25 = 0;

2) х2 -4х - 12 = 0;

3) х2 - 6х + 7 = 0;

4) 3х2 + 2х - 1 = 0.

Вариант 2

Способом выделения квадрата двучлена решите уравнение:

1) х2 + 12х + 36 = 0;

2) x2 + 6x + 5 = 0;

3) х2 + 4х - 1 = 0;

4) 3х2 - 5х - 8 = 0.

III. Изучение нового материала (основные понятая)

Из предыдущего урока видно, что при решении квадратных уравнений приходилось выделять квадрат двучлена. Чтобы постоянно не выполнять таких преобразований, достаточно один раз выполнить эти преобразования для общего вида квадратного уравнения и получить формулу корней квадратного уравнения. Далее эту формулу можно применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ах2 + bс + с = 0. Разделим все члены уравнения на старший коэффициент а (напомним, что а ≠ 0) и получим равносильное приведенное квадратное уравнение В левой части уравнения выделим квадрат двучлена: или Введем новую переменную и получим неполное квадратное уравнение: или или Так как а ≠ 0, то 4а2 — положительное число. Поэтому знак дроби определяется знаком ее числителя b2 - 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 («дискриминант» по-латыни означает «различитель», «определитель»). Его обозначают буквой D, т. е. D = b2 - 4ac.

Тогда уравнение имеет вид Рассмотрим теперь различные возможные случаи этого решения в зависимости от D.

1. Если D > 0, то уравнение имеет два противоположных по знаку корня Вернемся к старой неизвестной х и получим два линейных уравнения: (откуда корень ) и (тогда корень ).

Итак, в случае D > 0 квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня

Принята следующая краткая запись корней где D = b2 - 4ас (1), которую называют формулой корней квадратного уравнения.

2. Если D = 0, то уравнение имеет вид z2 = 0. Это уравнение имеет единственный корень (или два одинаковых корня) z = 0. Вернемся к старой неизвестной х и получим линейное уравнение корень которого

Итак, в случае D = 0 квадратное уравнение ах + bх + с = 0 имеет единственный корень (или два одинаковых корня)

Заметим, что в случае D = 0 также можно пользоваться формулой (1). Действительно, при D = 0 получаем или

3. Если D < 0, то уравнение не имеет корней, т. к. дробь

Следовательно, при D < 0 квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Таким образом, в зависимости от дискриминанта D = b2 - 4ас квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 может иметь: два различных корня при D > 0, единственный корень (или два одинаковых корня) при D = 0 и не иметь корней при D < 0, что отражено в таблице.

Дискриминан.

D = b2 - 4ас

D > 0

D = 0

D < 0

Корни квадратного уравнени.

ах2 + bх + с = 0

Два различных корня

Два равных корня (или один корень.

Нет корней

Итак, при решении квадратного уравнения поступают следующим образом:

1. Вычисляют дискриминант квадратного уравнения.

2. Сравнивают дискриминант с нулем.

3. Если дискриминант D ≥ 0, то используют формулу корней (или приведенную таблицу), если дискриминант D < 0, то записывают, что корней нет.

Пример 1 Решим уравнение 3х2 - 5х - 2 = 0.

В данном уравнении коэффициенты a = 3, b = -5, с = -2. Найдем дискриминант D = b2 - 4ac = (-5)2 – 4 · 3 · (-2) = 25 + 24 = 49 , D > 0. Поэтому уравнение имеет два различных корня. Используем формулу корней квадратного уравнения и получим т. е.

Ответ: х1 = 2 и х2 = -1/3.

Пример .

Решим уравнение 4х2 - 12х + 9 = 0.

В данном уравнении коэффициенты а = 4, b = -12, с = 9. Найдем дискриминант D = b2 - 4ac = (-12)2 - 4 · 4 · 9 = 144 - 144 = 0. Поэтому уравнение имеет два равных корня (или один корень)

Ответ: х = 1,5.

Пример 3

Решим уравнение 2х2 + 7х + 8 = 0.

В данном уравнении коэффициенты a = 2, b = 7, с = 8. Найдем дискриминант D = b2 - 4ac = 72 – 4 · 2 · 8 = 49 - 64 = -15. Так как дискриминант D < 0, то данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней можно записать в более удобном виде.

Пусть квадратное уравнение ax2 + bх + с = 0 имеет четный второй коэффициент, т. е. b = 2k (т. е. уравнение имеет вид ах2 + 2kх + с = 0). Найдем его дискриминант Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения k2 - ас. Обозначим это выражение D1 (т. е. D1 = k2 - ас), тогда D = 4D1.

Если D1 ≥ 0 (тогда и D ≥ 0), то по формуле корней квадратного уравнения получим т. е. где D1 = k2 - ас (2).

Если D1 < 0 (тогда и D < 0), то уравнение корней не имеет.

Пример .

Решим уравнение 3х2 - 4х + 1 = 0.

В данном уравнении коэффициенты а = 3, b = -4, с = 1. Так как второй коэффициент четный (т. е. b = 2k, где k = -2), то найдем величину D1 = k2 - ас = (-2)2 - 3 · 1 = 4 - 3 = 1 и используем формулу корней (2). Получаем т. е.

Ответ: x1 = 1 и х2 = 1/3.

Очень часто встречаются квадратные уравнения с параметрами.

Пример 5

Докажите, что при любом значении параметра а уравнение 3х2 – 5aх - a2 - 1 = 0 имеет два различных корня.

Так как старший коэффициент данного уравнения не равен нулю, то это уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант Так как при всех значениях а выражение а2 ≥ 0, то дискриминант D > 0. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

Пример 6

При всех значениях параметра а решим уравнение ах2 + (3а - 2)х - 6 = 0.

Если старший коэффициент а данного уравнения равен 0, то это уравнение не является квадратным. Подставим значение а = 0 в уравнение и получим линейное уравнение -2х - 6 = 0, которое имеет единственный корень х = -3.

Если старший коэффициент а ≠ 0, то данное уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант и корни т. е. и Так как в задачах с параметрами очень важен грамотный ответ, то выпишем его: при а ≠ 0 х1 = 2/a и х2 = -3, при а = 0 х = -3.

Пример 7

Один из корней квадратного уравнения х2 + 2ах + 2 – 3a = 0 равен 1. Найдите значение параметра а и второй корень уравнения.

Так как один корень х1 = 1 известен, то подставим его в уравнение и получим верное равенство: 12 + 2а · 1 + 2 - 3а = 0 или 3 - а = 0, откуда а = 3. Подставим это значение параметра а в данное уравнение и получим: х2 + 2 · 3 · х2 + 2 – 3 · 3 = 0 или х2 + 6х - 7 = 0. Решая это квадратное уравнение, найдем корни х1 = 1 (этот корень был известен) и х2 = -7. Итак, а = 3, х2 = -7.

Также часто встречаются квадратные уравнения, содержащие модули.

Пример 8

Решим уравнение |х2 - 3х + 4| = |2х - 2|.

Используем свойства модуля: если модули двух выражений равны, то сами выражения или равны или противоположны по знаку. Рассмотрим эти случая.

1. х2 - 3х + 4 = 2х - 2 или х2 - 5х + 6 = 0 . Это уравнение имеет два корня х1 = 2 и х2 = 3.

2. х2 - 3х + 4 = -(2х - 2), или х2 - 3х + 4 = -2х + 2, или х2 - х + 2 = 0. Дискриминант этого уравнения отрицательный и оно не имеет корней.

Итак, данное уравнение имеет два корня х1 = 2 и х2 = 3.

Пример 9

Решим уравнение х|х| - 7х + 10 = 0.

Используем определение модуля и рассмотрим два случая.

1. Если х ≥ 0, то |х| = х и уравнение имеет вид х2 - 7х + 10 = 0. Его корни х1 = 2 и х2 = 5 удовлетворяют условию х - 0 и являются корнями данного уравнения.

2. Если х < 0, то |х| = -х и уравнение имеет вид: -х2 - 7х + 10 = 0 или х2 + 7х - 10 = 0. Найдем его корни Условию х < 0 удовлетворяет только корень