Поурочные разработки по алгебре для 8 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Решение дробных рациональных уравнений - ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: решение дробных рациональных уравнений сведением их к линейным или квадратным уравнениям.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала (основные сведения)

1. Подход к определению типов уравнения.

Пример 1

Рассмотрите уравнения:

По аналогии с типами алгебраических выражений назовите данные уравнения.

2. Типы алгебраических уравнений

Уравнения, в которых обе части являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями. В примере 1 рациональными уравнениями являются а-д. Рациональные уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями, называют целыми уравнениями. В примере 1 целыми будут уравнения а, б (квадратные уравнения). Рациональное уравнение, в котором хотя бы одна из частей является дробным выражением, называют дробным рациональным уравнением. В примере 1 такими уравнениями являются в-д.

3. Решение рациональных уравнений

Основной способ решения рациональных уравнений состоит в преобразовании их в простейшие целые уравнения: линейные или квадратные.

Пример 2

Решим целое уравнение

Наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен 6. Умножим все члены уравнения на это число 6 и получим равносильное уравнение х2 + 9 – 2 · 2х = х + 3. Перенесем все члены в левую часть и получим равносильное квадратное уравнение х2 - 5х + 6 = 0. Корни этого уравнения х1 = 2 и х2 = 3 являются также и корнями данного уравнения.

Пример 3

Решим дробное рациональное уравнение

По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на знаменатель 2 - х (при условии, что 2 - х ≠ 0 (т. е. х ≠ 2)) и по свойству уравнений получим равносильное уравнение х2 - 6х + 8 = 2 - х. Перенесем все члены в левую часть и получим равносильное уравнение х2 - 5х + 6 = 0 (при условии, что х ≠ 2). Корни этого квадратного уравнения х1 = 2 и х2 = 3. Однако корнем данного уравнения является только корень х = 3.

Пример 4

Решим дробное рациональное уравнение

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен (х – 5)(x + 5). Умножим все члены уравнения на это выражение (при условии, что (х – 5)(x + 5) ≠ 0 (т. е. х = ±5)) и получим равносильное уравнение: или или Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены. Получаем равносильное квадратное уравнение х2 + 3х -10 = 0. Корни этого уравнения х1 = -5 и х2 = 2. Условию х ≠ ±5 удовлетворяет только корень х = 2. Поэтому корень данного уравнения х = 2.

Пример 5

Решим дробное рациональное уравнение

Разложим знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители Общий знаменатель этих дробей (2х – 3)(2х + 3)2. Умножим все члены данного уравнения на это выражение (при условии, что оно не равно нулю (т. е. х ≠ ±1,5)) и получим равносильное уравнение: или или Перенесем все члены уравнения в правую часть и приведем подобные члены. Получаем равносильное неполное квадратное уравнение: 0 = 4х2 + 24х или 0 = х(х + 6). Оба корня этого уравнения х1 = 0 и х2 = -6 удовлетворяют условию х ≠ ± 1,5 и являются корнями данного уравнения.

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно:

1. Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.

2. Найти общий знаменатель этих дробей.

3. Умножить все члены данного уравнения на общий знаменатель.

4. Решить получившееся целое уравнение.

5. Из корней этого уравнения исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.

Достаточно часто встречаются дробные рациональные уравнения, содержащие знаки модуля или параметры.

Пример 6

Решим уравнение

Если модуль некоторой величины равен 2, то сама величина равна ±2. Рассмотрим эти случаи.

а) Умножим обе части этого уравнения на знаменатель х - 1 и получим: x + 1 = 2(x - 1) или х + 1 = 2х - 2, откуда х = 3. Заметим, что для такого значения х знаменатель дроби х - 1 ≠ 0. Поэтому х = 3 — корень данного уравнения.

б) Опять умножим обе части этого уравнения на знаменатель х - 1 и получим: х + 1 = -2(х - 1) или х + 1 = -2х + 2, откуда 3х = 1, откуда х = 1/3. При этом знаменатель дроби х - 1 ≠ 0. Значит, х = 1/3 — также корень данного уравнения.

Пример 7

Решим уравнение

Используя определение модуля, раскроем знак модуля, рассмотрев два случая.

а) Если х - 2 > 0 (т. е. х > 2), то |х - 2| = х - 2 и уравнение имеет вид Умножим обе части этого уравнения на х - 2 и получим квадратное уравнение: х2 - 3х = 2(х - 2) или х2 - 5х + 4 = 0. Корни этого уравнения х1 = 1 и х2 = 4. Условию х > 2 удовлетворяет только корень х = 4. Поэтому х = 4 - корень данного уравнения.

б) Если х - 2 < 0 (т. е.х< 2), то |х - 2| = -(х - 2) = 2 - х и уравнение имеет вид Умножим обе части этого уравнения на 2 - х и получим квадратное уравнение: х2 - 3х = 2(2 - х) или х2 – х - 4 = 0. Корни этого уравнения Условию х < 2 удовлетворяет только корень Поэтому - также корень данного уравнения.

Пример 8

Решим уравнение

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель дробей (x + 2)(x - а) (при условии, что х + 2 ≠ 0 и х – а ≠ 0) и получим: или Перенесем все члены уравнения в правую часть, приведем подобные члены и получим линейное уравнение 0 = 8х + 12 – 2a. Решим это уравнение. Имеем: a - 6 = 4х, откуда .

Так как параметр а может принимать любые значения, то найденное решение может оказаться таким, что х + 2 = 0 или х - а = 0. Найдем, при каких значениях параметра а выполняется хотя бы одно из этих условий.

а) Эта величина при а = -2.

б) Величина также при а = -2.

Итак, при а ≠ -2 уравнение имеет корень , при а = -2 уравнение корней не имеет (т. к. при этом знаменатели дробей в данном уравнении равны нулю).

Пример 9

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Данная дробь равна нулю, если ее числитель (а + 4)х2 + 6х - 1 = 0 и при этом знаменатель х + 3 ≠ 0 (т. е. х ≠ -3). Поэтому данное уравнение имеет единственное решение в двух случаях.

а) Если уравнение (а + 4)х2 + 6х - 1 = 0 имеет единственный корень, не равный числу -3. Это возможно в двух случаях:

— если уравнение (а + 4)х2 + 6х - 1 = 0 является линейным. Это возможно, если старший коэффициент уравнения a + 4 = 0, откуда a = -4. Для такого значения а уравнение имеет вид 6х - 1 = 0 и единственный корень х = 1/6 (не равный числу -3);

— если уравнение (а + 4)х2 + 6х - 1 = 0 является квадратным, но имеет один корень. Этот случай возможен при двух условиях: а + 4 ≠ 0 (т. е. а ≠ -4) и дискриминант D = 36 + 4(а + 4) = 0. Решим это уравнение: 9 + а + 4 = 0, откуда а = -13. Это значение а = -13 удовлетворяет и условию а ≠ -4.

б) Если уравнение (а + 4)х2 + 6х - 1 = 0 имеет два корня, но один из этих корней равен числу -3 (и не является решением данного уравнения). Найдем, при каком значении параметра а уравнение (а + 4)х2 + 6х - 1 = 0 имеет корень, равный -3. Подставим значение х = -3 в уравнение (а + 4)х2 + 6х – 1 = 0 и получим: (a + 4) · 9 + 6 · (-3) - 1 = 0, или 9а + 17 = 0, откуда a = -17/9.

При значении а = -17/9 уравнение (a + 4)х2 + 6х - 1 = 0 имеет вид: 19/9х2 + 6х - 1 = 0 или 19х2 + 54x - 9 = 0. Один корень этого уравнения известен х1 = -3. Второй корень найдем, используя теорему Виета х1х2 = -9/19, тогда Очевидно, что этот корень не равен числу -3.