Решение задач с помощью рациональных уравнений - ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: использовать рациональные уравнения для решения текстовых задач.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа)

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Решение многих текстовых задач (особенно на движение и совместную работу) приводит к дробным рациональным уравнениям.

Пример 1

Грузовик остановился для заправки горючим на 24 мин. Увеличив свою скорость на 10 км/ч, он наверстал потерянное время на пути в 80 км. С какой скоростью двигался грузовик на этом пути?

Пусть первоначальная скорость грузовика х (км/ч). Тогда 80 км он проехал бы за время 80/x (ч). На самом деле грузовик сначала задержался на 24 мин (или 24/60 = 2/5 ч). Потом он увеличил скорость на 10 км/ч и стал двигаться со скоростью x + 10 (км/ч). Поэтому путь в 80 км он проехал за время (ч) и компенсировал потерянное время. Получаем дробное рациональное уравнение Решим его.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель дробей 5х(x + 10) и получим: 80 · 5 · (x + 10) = 2x(x + 10) + 80 · 5x или 400x + 4000 = 2x2 + 20x + 400x, или 0 = x2 + 10x - 2000. Корни этого квадратного уравнения x1 = -50 и x2 = 40. Очевидно, что (по смыслу задачи) подходит только корень x = 40. Тогда грузовик двигался со скоростью 40 + 10 = 50 (км/ч).

Пример 2

Один кран наполняет бассейн на 6 часов быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов может наполнить каждый кран, работая отдельно?

Пусть один кран наполнит бассейн за х часов, тогда другой кран — за х + 6 часов. Пусть объем бассейна составляет V литров. Тогда первый кран в час наливает в бассейн V/x литров воды, второй кран наливает в час литров. Вместе в час они наливают литров. С другой стороны эти краны наполняют бассейн за 4 часа и в час наливают в него V/4 литров воды. Поэтому получаем дробное рациональное уравнение Решим его.

Разделим все члены уравнения на V (очевидно, что V ≠ 0) и получим: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей 4х(х + 6) и получим: 4(х + 6) + 4х = х(х + 6) или 4х + 24 + 4х = х2 + 6х, или 0 = х2 - 2х - 24. Корни этого квадратного уравнения х1 = 6 и х2 = -4 (не подходит). Итак, один кран заполнит бассейн за 6 часов, тогда другой кран — за 6 + 6 = 12 часов.

Пример 3

Знаменатель несократимой обыкновенной дроби больше ее числителя на 5. Если и числитель, и знаменатель увеличить на 2, то полученная дробь будет больше первоначальной на 1/8. Найдите первоначальную дробь.

Пусть числитель данной дроби равен х, тогда ее знаменатель равен х + 5 и дробь имеет вид После увеличения на 2 числитель дроби стал равен х + 2, знаменатель х + 7. Полученная дробь имеет вид По условию новая дробь больше данной на 1/8. Поэтому имеем дробное рациональное уравнение Решим его.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель дробей 8(х + 7)(х + 5) и получим: 8(х + 2)(х + 5) - 8х(х + 7) = (х + 7)(х + 5) или 8х2 + 56х + 80 - 8х2 - 56х = х2 + 12х + 35, или 0 = х2 + 12х - 45. Корни этого квадратного уравнения х1 = 3 и х2 = -15 (не подходит). Итак, числитель дроби 3, ее знаменатель равен 3 + 5 = 8. Тогда данная дробь равна 3/8.

IV. Задание на уроке

№ 604, 607, 610, 613, 614, 616.

V. Задание на дом

№ 605, 606, 608, 611, 612, 615, 617.

VI. Подведение итогов урока