Решение некоторых уравнений высоких степеней и дробно-рациональных уравнений - ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: использование замены переменной при решении уравнений высоких степеней и дробных рациональных уравнений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Графически решите уравнение:

а) х2 = х + 2; .

б) 1/x = 2 – х; .

в) х = |х - 2|.

2. При всех значениях параметра а определите число корней уравнения:

а) |х| + |х - 1| = a; .

б) 1/x = ах.

Вариант 2

1. Графически решите уравнение:

а) х2 = 2 - x; .

б) 1/x = -x - 2; .

в) |x + 2| = -x.

2. При всех значениях параметра а определите число корней уравнения:

а) |x| + |х + 2| = а; .

б) 1/x = -ах.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Многие уравнения высоких степеней и дробные рациональные уравнения решаются с помощью замены переменной. Рассмотрим наиболее типичные уравнения.

Пример 1

Решим уравнение

Очевидно, что при использовании формулы квадрата разности выражение (x2 - 2x)2 дает многочлен четвертой степени. Поэтому данное уравнение является уравнением четвертой степени. Общие способы решения уравнений высоких степеней (третьей, четвертой и т. д.) в школе не изучаются.

Обратим внимание на то, что неизвестная входит в уравнение только в виде выражения х2 - 2х. Поэтому обозначим это выражение новой переменной у, т. е. у = х2 - 2х. Тогда данное уравнение имеет вид у2 - 4у + 3 = 0. Корни этого квадратного уравнения у1 = 1 и у2 = 3. Вернемся теперь к старой неизвестной х. Получаем два квадратных уравнения.

а) х2 - 2х = 1 или х2 - 2х -1 = 0. Корни этого уравнения

б) х2 - 2х = 3 или х2 - 2х - 3 = 0. Корни этого уравнения х3 = -1 и х4 = 3.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня.

Пример 2

Решим уравнение

Данное уравнение также является уравнением четвертой степени. Неизвестная х входит в уравнение в виде выражения х2 + 4х. Поэтому такое выражение можно принять в качестве новой переменной. Однако более удобно ввести переменную, равную полусумме выражений х2 + 4х + 3 и х2 + 4х + 1, т. е. у = х2 + 4х + 2. Тогда х2 + 4х + 3 = у + 1 и х2 + 4х + 1 = у - 1. Поэтому уравнение имеет вид (y + 1)(y - 1) = 48 и приводится к неполному квадратному уравнению: у2 - 1 = 48 или у2 - 49 = 0, или (y + 7)(y - 7) = 0. Корни этого уравнения у1,2 = ±7. Вернемся к старой неизвестной х и получим два квадратных уравнения.

а) х2 + 4х + 2 = 7 или х2 + 4х - 5 = 0. Его корни х1 = 1 и х2 = -5.

б) х2 + 4х + 2 = -7 или х2 + 4х + 9 = 0. Дискриминант этого уравнения отрицательный и оно корней не имеет.

Итак, данное уравнение имеет два корня.

Пример 3

Решим уравнение

Данное уравнение также имеет четвертую степень. Для его решения надо изменить порядок умножения и заметить, что и Тогда уравнение имеет вид Вид этого уравнения аналогичен примеру 2. Поэтому введем новую переменную у = х2 + 4х - 1. Уравнение принимает вид: (у - 4)(у + 4)= 105 или у2 – 16 = 105, или у2 = 121. Корни этого неполного квадратного уравнения у1,2 = ±11. Вернемся к старой неизвестной и получим два квадратных уравнения.

а) х2 + 4х - 1 = 11 или х2 + 4х - 12 = 0. Его корни х1 = -6 и х2 = 2.

б) х2 + 4х - 1 = -11 или х2 + 4х + 10 = 0. Это уравнение корней не имеет.

Итак, данное уравнение имеет два корня х1 = -6 и х2 = 2.

Пример 4

Решим уравнение

Многочлен, стоящий в левой части уравнения, легко свести к однородному многочлену двух переменных, если ввести новую переменную у = х2 + 3х - 8. Тогда уравнение принимает вид у2 + 2ху - 3х2 = 0. Решим это однородное уравнение, считая, что переменная у неизвестная, а переменная х — постоянная величина. Дискриминант этого квадратного уравнения D = (-x)2 – 1 · (-3x2) = 4x2 и у1,2 = -х ± 2х , т. е. у1 = х и у2 = -3х. Вернемся к старой неизвестной х и получим два квадратных уравнения.

а) х2 + 3х - 8 = х или х2 + 2х - 8 = 0. Его корни х1 = -4 и х2 = 2.

б) х2 + Зх - 8 = -3х или х2 + 6х - 8 = 0. Его корни

Пример 5

Решим уравнение 2х4 + 3х3 - 4х2 - 3х + 2 = 0.

Отличительной особенностью этого уравнения является попарное равенство коэффициентов при неизвестной в различных степенях относительно среднего члена уравнения -4х2 (коэффициент при х4 и свободный член равны 2, коэффициенты при х3 и х равны 3 и -3 соответственно). Очередность следования коэффициентов: 2, 3, -4, -3, 2. Поэтому такие уравнения называются возвратными (коэффициенты уравнения как бы возвращаются вновь) или симметричными (коэффициенты симметричны относительно среднего коэффициента). Легко проверить, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Так как степень уравнения четвертая, то разделим все его члены на х в степени вполовину меньше, т. е. на х2 (при этом х2 ≠ 0). Получаем уравнение

В этом уравнении сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами или Введем новую неизвестную . Теперь необходимо выразить выражение через переменную у. Для этого возведем в квадрат обе части равенства и получим откуда Тогда уравнение принимает вид: 2(у2 + 2) + 3у – 4 = 0 или 2y2 + 3y = 0, или y(2у + 3) = 0. Корни этого неполного квадратного уравнения у1 = 0 и у2 = -3/2. Вернемся к старой неизвестной х и получим два рациональных уравнения.

а) или х2 - 1 = 0. Корни этого неполного квадратного уравнения х1,2 = ±1.

б) или 2х2 + 3х - 2 = 0. Корни этого квадратного уравнения х3 = -2 и х4 = ½.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня.

Теперь остановимся на некоторых типичных дробных рациональных уравнениях.

Пример 6

Решим уравнение

Преобразуем данное уравнение и запишем его в виде Видно, что неизвестная х входит в уравнение в виде дроби или обратной дроби Поэтому введем новую неизвестную и получим уравнение: или у2 + 5y + 4 = 0. Корни этого квадратного уравнения у1 = -1 и у2 = -4. Вернемся к старой неизвестной x и получим два рациональных уравнения.

а) или 4х - 3 = -x2 + 2х, или x2 + 2x - 3 = 0. Корни этого квадратного уравнения х1 = 1 и х2 = -3.

б) или 4х - 3 = -4х2 + 8x , или 4x2 – 4x - 3 = 0. Корни этого квадратного уравнения х3 = -1/2 и х4 = 3/2.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня.

Пример 7

Решим уравнение

Так как неизвестная x входит в уравнение только в виде выражения x2 + 2x, то введем новую неизвестную у = х2 + 2х + 2 (это более удобно). Тогда уравнение имеет вид Умножим все члены уравнения на общий знаменатель дробей 6у(у + 1) и получим: или или 5у2 - 7у - 6 = 0. Корни этого квадратного уравнения у1 = 2 и у2 = -3/5. Вернемся к старой неизвестной x и получим два квадратных уравнения.

a) x2 + 2x + 2 = 2 или x2 + 2x = 0. Корни этого неполного квадратного уравнения x1 = 0 и х2 = -2.

б) или Это квадратное уравнение корней не имеет.

Итак, данное уравнение имеет два корня х1 = 0 и х2 = -2.

Пример 8

Решим уравнение

В данном уравнении замена неизвестной не столь очевидна, как в предыдущем уравнении. Однако можно заметить, что повторяется выражение х2 + 15. Поэтому введем новую переменную у = х2 + 15. Тогда данное уравнение имеет вид: или или или y2 - 21xy + 98x2 = 0. Решая это однородное уравнение, найдем у = 7х и у = 14х. Вернемся к старой неизвестной х и получим два квадратных уравнения.

а) х2 + 15 = 7х или х2 - 7х + 15 = 0. Это квадратное уравнение корней не имеет.

б) х2 + 15 = 14х или х2 – 14x + 15 = 0. Корни этого квадратного уравнения

Итак, данное уравнение имеет два корня.

IV. Задание на уроке и дом.

Решите уравнение:

Ответы:

V. Подведение итогов урока