Итоги контрольной работы - урок 6 - ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цели: сообщить результаты работы, рассмотреть наиболее типичные ошибки, разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Итоги контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результатам решения. Данные о результатах работы удобно заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи Итоги	1	2	3	...	6
+	5
±	1
—	1
Ø	1

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно.

± — число решивших задачу со значительными ошибками; .

— — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу. Вариант 1, 2 — 8 учеников.

2. Типичные ошибки, возникшие при решении задач.

3. Наиболее трудные задачи и их разбор (учителем или школьниками, сделавшими эту задачу).

4. Разбор всей контрольной работы (вывесить на стенде ответы к заданиям вариантов и разбор наиболее трудных вариантов).

III. Ответы и решения

Вариант 1

1. Ответ: x1 = 1 и х2 = 2. .

2. Ответ: х1 = -1 и х2 = 3,5.

3. Ответ: решений нет. .

4. Ответ:

5. Ответ: (1; 1).

6. Ответ: при а = ±2.

Вариант 2

1. Ответ: х1 = 1 и х2 = 3. .

2. Ответ: х1 = 1 и х2 = -17/6.

3. Ответ: решений нет. .

4. Ответ:

5. Ответ: (-1; -2) и (2; 1).

6. Ответ: при a = ±3.

Вариант 3

1. Ответ: х1 = -3. .

2. Ответ: х1 = 4 и х2 = -0,5.

3. Ответ: решений нет.

4. Ответ: 31.

5. Ответ: 1/3. .

6. Ответ: при всех а, кроме а = 1 и а = -4.

Вариант 4

1. Ответ: х = -4. .

2. Ответ: х1 = 3 и х2 = -1,5.

3. Ответ: решений нет. .

4. Ответ: 13.

5. Ответ: 1/4. .

6. Ответ: при всех а, кроме а = 3 и а = -2.

Решения

Вариант 5

1. В правой части уравнения приведем дроби к общему знаменателю и упростим ее. Получаем: или или Обе части уравнения определены при х ≠ -3 и равны. Так как дроби и их знаменатели равны, то равны и числители. Имеем: 7х - 6 = -х2 + 4х - 6 или х2 + 3х = 0, или х(х + 3) = 0. Корни этого уравнения х1 = 0 и х2 = -3. Условию х ≠ -3 удовлетворяет только корень х = 0, который и является решением уравнения.

Ответ: х = 0.

2. Разложим знаменатель дроби на множители и получим: или Допустимые значения переменной х ≠ -1 и х ≠ 2. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем уравнение: |х + 1| - 3 = 0, или |х + 1| = 3, или х + 1 = ±3, откуда х1 = 2 и х2 = -4. Учитывая ограничения на х, корнем данного уравнения будет х = -4.

Ответ: х = -4.

3. Пусть мастер тратит на работу х дней, тогда ученик — (х + 3) дня. Примем работу за единицу. За один день мастер делает 1/x часть работы, ученик — часть. Вместе за один день мастер и ученик выполняют часть работы и сделают ее за 1: дней. Так как мастер тратит на работу на один день больше, чем работая вместе с учеником, то получаем уравнение: Умножим все члены на 2х + 3. Имеем: или или х2 - 2х - 3 = 0. Корни этого уравнения х1 = 3 и х2 = -1 (не подходит).

Ответ: 3 дня.

4. Для решения уравнения введем новую переменную у = x2 + 3х и получим уравнение или у2 - 2у - 8 = 0 (где у ≠ 2). Корни этого уравнения у1 = -2 и у2 = 4. Теперь вернемся к старой переменной и получим уравнения:

а) х2 + 3х = -2 или х2 + 3х + 2 = 0. Его корни х1 = -1 и х2 = -2.

б) х2 + 3х = 4 или х2 + 3х - 4 = 0. Его корни х1 = 1 и х2 = -4.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: х1 = -1, х2 = -2, х3 = 1, х4 = -4.

5. Разложим числитель дроби на множители и запишем уравнение в виде Дробь равна нулю, если ее числитель (x – 1)(x - 2) = 0, а знаменатель х + а ≠ 0 (т. е. а ≠ -х). Корни уравнения х1 = 1 и х2 = 2. Поэтому если a ≠ -1 и а ≠ -2, то уравнение имеет два корня х1 = 1 и х2 = 2. Если а = -1, то остается только один корень х = 2 (корень х = 1 решением данною уравнения не является). Если а = -2, то остается только один корень х = 1 (корень х = 2 решением данного уравнения не будет).

Ответ: при а ≠ -1, а ≠ -2 х1 = 1 и х2 = 2; при а = -1 х = 2; при а = -2 х = 1.

6. Для решения уравнения х2 + 4у2 = 6х – 4y - 10 перенесем все члены в левую часть х2 + 4y2 - 6х + 4у + 10 = 0 и выделим полные квадраты по переменным х и у. Получаем: или Так как каждое слагаемое (х - 3)2 и (2y + 1)2 неотрицательно, то их сумма равна нулю только при условии, что каждое из них равно нулю. Получаем систему линейных уравнений откуда х = 3, у = -1/2.

Ответ: х = 3, у = -1/2.

Вариант 6

1. В правой части уравнения приведем дроби к общему знаменателю и упростим ее. Получаем: или или Обе части уравнения определены при х ≠ 2 и равны. Так как дроби и их знаменатели равны, то равны и числители. Имеем: х - 14 = -х2 + 3х - 14 или х2 - 2х = 0, или х(х - 2) = 0. Корни этого уравнения х1 = 0 и х2 = 2. Условию х ≠ 2 удовлетворяет только корень х = 0, который и является решением данного уравнения.

Ответ: х = 0.

2. Разложим знаменатель дроби на множители и получим: или Допустимые значения переменной х ≠ -2 и х ≠ 1. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем уравнение: |х + 1| - 2 = 0 или |х + 1| = 2, или х + 1 = ±2, откуда х1 = 1 и х2 = -3. Учитывая ограничения на х, корнем данного уравнения будет х = -3.

Ответ: х = -3.

3. Пусть первая бригада тратит на работу х часов, тогда вторая бригада — (х - 3) часа. Примем работу за единицу. За один час первая бригада делает 1/x часть работы, вторая бригада — часть. Вместе за один час обе бригады выполняют часть работы и сделают ее за 1: часов. Так как бригада тратит на работу на 4 ч больше, чем при совместной работе со второй бригадой, то получаем уравнение: Умножим все члены на 2х - 3. Имеем: или или х2 - 8х + 12 = 0. Корни этого уравнения х1 = 2 и х2 = 6. Корень х = 2 не подходит, т. к. х > 3.

Ответ: 6 часов.

4. Для решения уравнения введем новую переменную у = х2 + х и получим уравнение или (у + 1)(y + 3) = 15, или у2 + 4у - 12 = 0 (где у ≠ -3). Корни этого уравнения у1 = -6 и у2 = 2. Теперь вернемся к старой переменной и получим уравнения:

а) х2 + х = -6 или х2 + х + 6 = 0. Это уравнение корней не имеет.

б) х2 + х = 2 или х2 + х - 2 = 0. Его корни х1 = 1 и х2 = -2.

Итак, данное уравнение имеет два корня.

Ответ: х1 = 1, х2 = -2.

5. Разложим числитель дроби на множители и запишем уравнение в виде Дробь равна нулю, если ее числитель (x - 1)(x - 3) = 0, а знаменатель х – а ≠ 0 (т. е. а ≠ х). Корни уравнения х1 = 1 и х2 = 3. Поэтому, если а ≠ 1 и а ≠ 3, то уравнение имеет два корня х1 = 1 и х2 = 3. Если а = 1, то остается только один корень х = 3 (корень х = 1 решением данного уравнения не является). Если a = 3, то остается только один корень х = 1 (корень х = 3 решением данного уравнения не будет).

Ответ: при a ≠ 1, а ≠ 3 х1 = 1 и х2 = 3; при a = 1 х = 3; при a = 3 х = 1.

6. Для решения уравнения 4х2 + у2 = 4х - 4у - 5 перенесем все члены в левую часть 4х2 + у2 - 4х + 4у + 5 = 0 и выделим полные квадраты по переменным х и у. Получаем: или (2x - 1)2 + (y + 2)2 = 0. Так как каждое слагаемое (2x – 1)2 и (y + 1)2 неотрицательно, то их сумма равна нулю только при условии, что каждое из них равно нулю. Получаем систему линейных уравнений откуда x = 1/2, y = -2.

Ответ: x = 1/2, y = -2.