Запись приближенных значений - ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ - СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Цель: рассмотреть запись приближенных значений и оценки абсолютной и относительной погрешностей.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Как записать число L в стандартном виде?

2. Запишите в стандартном виде число:

а) 7350000; б) 0,000374; в) 638 · 105.

3. Выполните действия и запишите ответ в стандартном виде:

Вариант 2

1. Как определить порядок числа L?

2. Запишите в стандартном виде число:

а) 253000; б) 0,0000365; в) 675 · 104.

3. Выполните действия и запишите ответ в стандартном виде:

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Прежде всего отметим, что в реальной жизни, науке и технике характеристики объектов выражаются только приближенными значениями. Например, длина железнодорожного рельса составляет примерно 12 м. Однако сталь при нагревании расширяется, и длина рельса увеличивается. При охлаждении сталь сужается, и длина рельса уменьшается. В среднем в России перепад зимних и летних температур составляет 60°С, что влияет на длину рельса. Поэтому при прокладке железнодорожного пути между рельсами оставляют зазор в 2 см. То есть в этом случае меняются характеристики самого рельса.

Другой причиной приближенных значений физических величин является несовершенство методов измерений таких величин. Например, по радиоактивному распаду элементов был определен возраст существования Земли (примерно 4,5 млрд. лет) и наблюдаемой Вселенной (около 15 млрд. лет).

Теперь рассмотрим некоторые способы записи приближенных чисел. Длина рельса равна 1200 см с точностью до 2 см, т. е. точное значение длины l (в см) может отличаться от приближенного значения, равного 1200, не более чем на 2: 1200 – 2 ≤ l ≤ 1200 + 2 или 1198 ≤ l ≤ 1202.

В физических и математических таблицах и справочниках приближенные значения записывают так, чтобы погрешность не превосходила единицы последнего разряда. В таких случаях говорят, что число записано верными цифрами.

Верной цифрой приближенного значения называют цифру любого разряда, если абсолютная погрешность не превосходит единицы этого разряда.

Например, приближенное значение возраста Земли (в млрд. лет) равно 4,5. В записи 4,5 все цифры верные. Последняя цифра записана в разряде десятых. Значит абсолютная погрешность меньше или равна 0,1, т. е. t = 4,5 ± 0,1.

В технической литературе часто встречается запись приближенных значений в стандартном виде, т. е. в виде a · 10n, где 1 ≤ a < 10 и n— целое число. При этом в записи множителя а содержатся обычно только верные цифры. По такой записи легко оценить абсолютную погрешность приближенного значения.

Пример 1

В энциклопедии указано, что масса Земли равна 5,976 · 1024 кг. Оценим абсолютную погрешность приближенного значения массы Земли.

Обозначим массу Земли (в кг) буквой m. Так как в множителе 5,976 все цифры верные и последней цифрой является цифра тысячных, то m = (5,976 ± 0,001) · 1024. Раскрыв скобки, будем иметь m = 5,976 · 1024 ± 0,001 · 1024 или m = 5,976 · 1024 ± 1021. Эта запись означает, что абсолютная погрешность приближенного значения m меньше или равна 1021.

Если число записано в стандартном виде a · 10n и в множителе а все цифры верные, то такая запись позволяет легко оценить также относительную погрешность.

Пример 2

Оценим относительную погрешность приближенного значения массы Земли.

В примере 1 мы оценили абсолютную погрешность такого приближенного значения. Она меньше или равна 1021. Значит, его относительная погрешность не превосходит Видно, что относительная погрешность меньше единицы последнего разряда в записи множителя 5,976.

Аналогично можно показать, что если x ≈ a · 10n (где 1 ≤ 10 и множитель а записан верными цифрами), то относительная погрешность приближенного значения не превосходит единицы разряда, в котором записана последняя из этих цифр.

При записи приближенных значений вместо a · 103, a · 106, a · 109 часто пишут соответственно а тыс., а млн., а млрд. В таких записях множитель a может выходить за пределы промежутка от 1 до 10. Например, возраст существования наблюдаемой Вселенной приближенно равен 15 млрд. лет.

IV. Контрольные вопросы

1. Укажите причины приближенных значений технических и физических величин.

2. Как оценить абсолютную погрешность приближенного значения величины (покажите на примере)?

3. Как оценить относительную погрешность приближенного значения величины (покажите на примере)?

V. Задание на уроке

№ 973 (а, в); 974 (б); 976 (а, в’ л); 977 (в); 978 (а); 979 (а, г); 980 (в); 981.

VI. Задание на дом

№ 973 (б, г); 974 (г); 976 (б, г, е); 977 (е); 978 (б); 979 (б, л); 980 (д); 982.

VII. Подведение итогов урока