Умножение дробей. Возведение дроби в степень - ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ - РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Целы изучить умножение дробей и возведение их в степень.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока .

II. Изучение нового материала (основные понятия)

При умножении обыкновенных дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей дробей, а знаменатель — произведению знаменателей. Например По тому же правилу находят и произведения рациональных дробей, т. е. при любых допустимых значениях переменных (т. е. при b ≠ 0 и d ≠ 0). Докажем это равенство.

Пусть (очевидно, что b ≠ 0 и d ≠ 0). Почленно умножим эти равенства и получим . Из равенства a/b = m по определению частного имеем а = bm, из равенства c/d = n получаем с = dn. Также почленно умножим равенства а = bm и с = dn и получим Выразим из этого равенства mn = ac/bd. Сравнивая два равенства и имеем тождество (при b ≠ 0 и d ≠ 0), из которого следует правило умножения дробей. Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение записать числителем, второе — знаменателем дроби.

Пример 1

Умножим дроби

Используя правило умножения дробей, получаем:

Пример 2

Умножим дроби

Воспользуемся правилом умножения дробей. Затем числитель первой дроби и знаменатель второй дроби разложим на множители и сократим получившуюся дробь. Имеем:

Пример 3

Представим произведение дробей в виде рациональной дроби.

Используем правило умножения дробей. В числителе и знаменателе получившейся дроби умножим многочлены. Тогда получим:

Пример 4

Умножим дробь и многочлен х2 – у2.

Как и при сложении (вычитании) дробей, представим многочлен в виде дроби со знаменателем 1 и воспользуемся правилом умножения дробей.

Имеем:

Правило умножения дробей, разумеется, справедливо для произведения любого числа перемножаемых дробей.

Пример 5

Найдем произведение дробей

Используем правило умножения дробей и получим:

Теперь рассмотрим возведение дроби в степень. При возведении обыкновенной дроби в степень ее числитель и знаменатель возводят в эту степень. Например: Такое же правило справедливо и в случае рациональной дроби: Докажем это.

По определению степени имеем Используем правило умножения дробей и определение степени, получим: Итак, Из доказанного тождества следует правило возведения дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби и первый результат записать в числителе, второй — в знаменателе дроби.

Пример 6

Возведем дробь в четвертую степень.

Используем правило возведения дроби в степень и учтем свойства степеней. Получаем:

Пример 7

Возведем в квадрат дробь

Используем формулы сокращенного умножения и сначала сократим дробь: Теперь возведем в квадрат эту дробь. Для этого возведем в квадрат ее числитель и знаменатель (правило возведения дроби в степень). Получаем:

III. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте правило умножения дробей.

2. Докажите правило умножения дробей.

3. Как возвести дробь в степень?

4. Докажите правило возведения дроби в степень.

IV. Задание на уроке

№ 108 (а, г); 109 (а); 111 (б); 112 (в); 114 (а); 115 (а); 117 (а, д); 118 (а, д); 119 (а, б); 121 (а); 122 (б); 125 (б, г).

V. Задание на дом

№ 108 (e); 110 (в); 111 (а); 112(6); 113 (г); 114 (б); 115 (г); 117 (в); 118 (г); 119 (в, г); 121 (6); 123 (а); 124 (г); 126 (а, в).

VI. Подведение итого урока