Изучение функции ах2, построение ее графика - ФУНКЦИЯ у = ах2 - КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Цель: рассмотреть более сложную квадратичную функцию у = ах2 изучить ее свойства и построить график.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Определить, какие точки принадлежат графику функции у = х2:

2. Найти координаты точек пересечения параболы у = х2 и прямой y = -2х + 3.

3. Возрастает или убывает функция у = х2 на промежутке [-4; -1)?

Вариант 2

1. Определить, какие точки принадлежат графику функции у = х2:

2. Найти координаты точек пересечения параболы у = х2 и прямой у = -3х + 4.

3. Возрастает или убывает функция у = х2 на промежутке (-5; -2]?

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Рассмотрим более сложную (по сравнению с предыдущим уроком) квадратичную функцию у = ах2. Прежде всего необходимо понять, каким образом влияет на график функции модуль и знак коэффициента а. Сначала обсудим влияние модуля коэффициента а, рассмотрев, например, положительные значения а.

Пример 1

Построим в одних осях координат графики функций у = х2, у = 2х2 и y = 1/2x2 и сравним их. Составим таблицу значений для этих функций в промежутке [-2; 2] с шагом 0,5.

x	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
y = х2	4	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25	4
у = 2х2	8	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5	8
y = 1/2x2	2	1,12	0,5	0,12	0	0,12	0,5	1,12	2

Сначала сравним графики функций у = 2х2 и у = х2. Как видно из таблицы и из графиков, при одном и том же значении х значение функции у = 2х2 в 2 раза больше значения функции у = х2. Это означает, что каждую точку графика у = 2х2 можно получить из точки графика у = х2 с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза.

Говорят, что график функции у = 2х2 получается растяжением графика функции у = х2 вдоль оси Оу в 2 раза (от оси Ох).

Теперь сравним графики функций y = 1/2x2 и у = х2. Видно, что при одном и том же значении х значение функции y = 1/2x2 в 2 раза меньше значения функции у = х2. Таким образом, каждую точку графика y = 1/2x2 можно получить из точки графика у = х2 с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 1/2x2 получается сжатием графика функции у = х2 вдоль оси Оу в 2 раза (к оси Ох).

Остановимся на влиянии знака коэффициента а на график функции.

Пример 2

Построим в одних осях координат графики функций у = х2 и у = -х2.

Сравним функции у = х2 и у = -х2. При одном и том же значении х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому график функции у = -х2 можно получить симметрией (отражением) относительно оси Ох графика функции у = х2.

Аналогично, графики функций у = -2х2 и y = -1/2x2, соответственно, симметричны относительно оси Ох графикам функций у = 2х2 и y = 1/2x2, построенным на предыдущем рисунке.

График функции у = ах2 при любом а ≠ 0 также называют параболой. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 — вниз.

Отметим, что фокус параболы у = ах2 находится в точке F(0; 1/4a).

Укажем основные свойства функции у = ах2 (для а ≠ 0).

1. Область определения функции - все действительные значения х.

2. Область изменения (значений) функции - при а > 0 все у ≥ 0 и при а < 0 все у ≤ 0.

3. При а > 0 функция принимает положительные значения для х ≠ 0, при а < 0 функция принимает отрицательные значения для х ≠ 0. Значение функции у = 0 только при х = 0.

4. Парабола у = ах2 симметрична относительно оси ординат. Вершиной параболы является начало координат, г. е. точка (0; 0). Функция у = ах2 является четной.

5. При а > 0 функция возрастает при х ≥ 0 и убывает при x ≤ 0. При а < 0 функция возрастает при x ≤ 0 и убывает при x ≥ 0.

Все перечисленные свойства видны из представленных графиков.

Рассмотрим типичные задачи по этой теме.

Пример 3

Решим графически: а) уравнение -х2 = -4; б) неравенство -х2 ≤ -4; в) уравнение -x2 = -2; г) неравенство -х2 > -2.

Сначала построим график функции у = -х2 (парабола).

а) Проведем прямую у = -4 (горизонтальная прямая). Видно, что парабола и прямая пересекаются в точках А и В, абсциссы которых, соответственно, х = -2 и х = 2. Следовательно, уравнение –х2 = -4 имеет два корня х1 = -2 и х2 = 2.

б) Графический смысл неравенства -х2 ≤ -4: надо найти такие значения х, при которых точки параболы лежат не выше (ниже или на уровне) прямой. Из рисунка видно, что это выполняется при х ≤ -2 и х ≥ -2. Поэтому решением неравенства -х2 ≤ -4 являются промежутки (-∞; -2] и [2; +∞). Эти промежутки заштрихованы снизу на оси абсцисс.

в) Проведем прямую y = -1 (горизонтальная прямая). Парабола и прямая пересекаются в точках С и D, абсциссы которых, соответственно, равны (напомним, что — иррациональное число, ). Следовательно, уравнение -х2 = -2 имеет два корня

г) Графический смысл неравенства -х2 > -2: надо найти такие значения х, при которых точки параболы лежат выше прямой. Из рисунка видно, что это выполняется при Поэтому решением неравенства -х2 > -2 является промежуток Этот промежуток заштрихован сверху на оси абсцисс. Пустые кружки указывают, что граничные точки решением не являются.

Рассмотрим аналогичную более сложную задачу.

Пример 4

Решим графически: а) уравнение -х2 = х - 2, б) неравенство -х2 ≥ х - 2.

Построим графики функций у = -х2 (парабола) и у = х - 2 (прямая).

а) Видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках А и В, абсциссы которых, соответственно, равны х = -2 и x = 1. Следовательно, уравнение -х2 = х - 2 имеет два корня х1 = -2 и x2 = 1.

б) Графический смысл неравенства -х2 ≥ х - 2: надо найти такие значения x, при которых точки параболы лежат не ниже (выше или на уровне) прямой. Из рисунка видно, что это выполняется при -2 ≤ х ≤ 1. Поэтому решением неравенства -х2 ≥ х - 2 является промежуток [-2; 1].

Пример 5

Найти значение коэффициента a, при котором одна из точек пересечения параболы у = ах2 и прямой у = 5х - 2 имеет абсциссу x = -2. Найти координаты точек пересечения.

Координаты точки пересечения параболы и прямой являются решением системы уравнений При этом для одного решения известна величина х = -2. Рассмотрим два способа решения такой системы.

1 способ. Подставим известное решение х = -2 во второе уравнение системы и найдем: у = 5 · (-2) - 2 = -12. Таким образом, определили координаты одной точки пересечения прямой и параболы (-2; -12). Теперь подставим значения х = -2 и у = -12 в первое уравнение системы: -12 = а · (-2)2 или -12 = 4a, откуда а = -3. Поэтому данная парабола имеет уравнение у = -3х2.

Теперь найдем координаты второй точки пересечения параболы у = -3х2 и прямой у = 5х - 2. Для этого решим систему уравнении при этом известно одно решение (-2; -12). Приравняем правые части уравнений системы и получим: -3х2 = 5х - 2 или 0 = 3х2 + 5х - 2. Найдем корни этого квадратного уравнения т. е. x1 = 2/6 = 1/3 и x2 = -12/6 = -2 (известное решение). Из любого уравнения, например первого, определим ординату второй точки пересечения параболы и прямой: y = -3 · (1/3)2 = -1/3. Итак, при а = -3 парабола и прямая пересекаются в точках (-2; -12) и (1/3; -1/3).

2 способ. Приравняем правые части уравнений системы и получим квадратное уравнение ах2 = 5х - 2. Так как одно решение этого уравнения известно х = -2, то подставим его в уравнение: а · (-2)2 = 5 · (- 2) – 2 или 4а = -12, откуда значение параметра а = -3.

Подставим это значение в уравнение ах2 = 5х - 2 или 0 = 3х2 + 5х - 2. Так как один корень х1 = -2 этого уравнения известен, то по теореме Виета получим x1x2 = -2/3 или -2х2 = -2/3, откуда x2 = 1/3. Для абсцисс точек пересечения х1 = -2 и х2 = 1/3 из уравнения параболы у = -3х2 найдем ординаты этих точек: у1 = -3 · (-2)2 = -12 и y2 = -3 · (1/3)2 = -1/3, соответственно. Следовательно, при a = -3 парабола и прямая пересекаются в точках (-2; -12) и (1/3; -1/3).

Пример 6

При каких значениях параметров а и k парабола у = ах2 и прямая у = kх - 4 пересекаются в точках с абсциссами х = 1 и х = -4? Найти ординаты точек пересечения.

Координаты точек пересечения прямой и параболы являются решениями системы уравнений Приравняем правые части этих уравнений и получим квадратное уравнение ах2 = kх - 4 с параметрами а и k. Решения этого уравнения х1 = 4 и х2 = -4 известны. Подставив эти значения в уравнение, получим систему двух линейных уравнений для нахождения а и k: или 1 Сложив уравнения системы, найдем 5а = -5. Откуда а = -1. Тогда, например, из первого уравнения получим -1 – k = -4, откуда k = 3. Следовательно, в задаче рассматривается пересечение параболы y = -x2 и прямой у = 3х - 4.

Зная абсциссы точек пересечения, используя уравнение параболы или прямой, легко найти и ординаты. Получим: у1 = -х12 = -12 = -1 и y2 = -х22 = -(-4)2 = -16.

IV. Контрольные вопросы

1. Как получить из графика функции у = х2 график функции: а) у = 3х2, б) y = 1/4х2, в) у = -3х2, г) у = -1/4х2?

2. Укажите ось симметрии и вершину параболы у = ах2.

3. Как направлены ветви параболы у = ах2?

4. Промежутки возрастания и убывания функции у = ах2.

V. Задание на уроке

№ 596 (1, 4); 598 (4); 599 (1, 2); 601 (1); 603; 605 (1,4); 606.

VI. Задание на дом

№ 595; 599 (3, 4); 601 (2); 602; 605 (2, 3); 607.

VII. Творческие задания

1. Графически решите уравнение или неравенство.

Ответы:

2. При каких значениях параметров а и k парабола у = ах2 и прямая у = kх + 3 пересекаются в точках с абсциссами х = -1 и х = 3/2? Найти ординаты точек пересечения.

Ответ: а = 2, k = 1, у1 = 2, у2 = 4,5.

3. При каких значениях параметров а и b парабола у = ах2 и прямая у = x + b пересекаются в точках с абсциссами х = -2 и х = 5/2. Найти ординаты точек пересечения.

Ответ: а = 2, b = -10, y1 = 8, y2 = 12,5.

4. При каких значениях параметров а, b и k прямая у = kх + b проходит через точку (1; 3) и пересекается с параболой у = ах2 в точках с абсциссами х = 1/3 и х = -2? Найти ординаты точек пересечения.

Ответ: а = -3, b = -2, k = 5, у1 = -1/3, у2 = -12.

VIII. Подведение итогов урока