Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Введение

Способы доказательных рассуждений в математике и в других научных дисциплинах различны. Естественным для человеческого сознания является индуктивное мышление, т. е. накопление фактов и последующее их обобщение в рамках теории. В математике все не так. Математика — наука дедуктивная, в ней от общих понятий переходят к частным, устанавливая свойства соответствующих им объектов.

Исходные положения математической теории как бы заранее фиксированы. Это базовые понятия, которые не могут быть математически определены через другие, более широкие понятия, так как сами являются строительными элементами будущей теории (точка, прямая, плоскость, натуральное число). Отношения между базовыми понятиями, принимаемые как истинные, называют аксиомами. Строго говоря, сами базовые понятия вместе с аксиомами, которые их связывают, можно воспринимать как общее развернутое определение основных базовых понятий. (Это не исключает последующего пополнения списка базовых понятий и аксиом.)

Поясним, что мы понимаем под математическим определением и чем оно отличается от других определений.

Иногда говорят, что натуральные числа — это числа, возникающие в процессе счета. Или же, что точка — трехмерный геометрический объект, не имеющий длины, ширины и высоты. Дают и такое определение числа 2: 2 — это то общее, что присуще всем группам предметов, состоящих из двух элементов.

Такие определения нельзя считать математическими.

Математическое определение непременно строится по принципу выделения частного понятия из общего с помощью конкретного отличительного признака. Так поступают в биологии, где род — более широкое понятие, чем вид, а определение вида дается через определение рода (родовое понятие) путем указания видового отличия. Математическое определение должно непременно содержать и родовое понятие, и видовое отличие.

Приведенное выше определение числа 2 этому требованию не удовлетворяет, ибо слова «то общее» нельзя считать родовым понятием — оно не очерчивает конкретное множество объектов.

Определения натурального числа и точки на первый взгляд имеют форму математических определений. Натуральное число было определено через более общее понятие числа, а точка — через более широкое понятие трехмерного геометрического объекта. Однако в этом случае возникает вопрос: что такое число и что такое трехмерный геометрический объект? Эти два понятия нельзя избрать в качестве базовых, ибо они слишком сложны, чтобы им можно было дать разумное интуитивное толкование. Понятие числа в математике достаточно изящно конструируется из понятия натурального числа путем последовательного расширения наших представлений о числе: вводятся отрицательные целые числа и нуль, рациональные числа, иррациональные числа. Точно так же понятие геометрического объекта предполагает большое разнообразие конкретных реализаций, конструируемых посредством определений из простейших, т. е. элементарных понятий, какими являются точка, прямая, плоскость. K тому же мы не обязаны ограничиваться рассмотрением только трехмерного геометрического пространства, в котором плоскость имеет два измерения, прямая — одно, а точка имеет нулевую размерность. Если мы решимся исследовать пространства четырех измерений и более, то размерности точки, прямой, плоскости останутся неизменными.

Приведем примеры того, как в математике определяют новые понятия (они набраны прописными буквами) и укажем в каждом из определений родовое понятие (полужирный шрифт) и видовое отличие (курсив).

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны равны и параллельны.

ТРАПЕЦИЯ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны.

ЧЕТНЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, кратные числу 2.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — числа вида ^p/_q, где p и q — целые числа, q ≠ 0.

Рассмотрите самостоятельно определения предела и производной.

У стандартных математических задач есть одно важное свойство: для их решения не требуется озарения. Нет необходимости долго размышлять над такой задачей в поисках подхода к ее решению. То, что обычно следует предпринимать, вообще говоря, известно заранее. Нужно только это разумно и эффективно осуществить.

Начинают обычно с перевода содержательных условий задачи на язык математических символов и соотношений. А когда это сделано, остается позаботиться об использовании всех условий задачи. Именно всех условий, ибо в правильно поставленной математической задаче лишних условий быть не может. Поэтому каждое из условий непременно должно быть использовано в процессе решения.

Часто спрашивают: обязательно ли стремиться к полной формализации условий задачи? Хотя среди преподавателей еще бытует такая традиция, делать это не только не обязательно, но часто и не нужно. Увлечение формальной записью может внешне неоправданно усложнить задачу, сделать ее трудно обозримой и даже отпугивающей. Соблюдать меру здесь очень уместно. А там, где появляется чувство меры, наука хотя бы частично уступает свои права искусству. Вот почему математики так высоко ценят изящные доказательства и с большой неохотой ведут длинные и монотонные выкладки. Увы, в реальной жизни без них не обойтись.

А теперь рассмотрим два простых примера.

Первый показывает, насколько результат обыденного мышления может расходиться с результатом, полученным математически.

Задача 1. На склад привезли 100 кг ягод влажности 99%. Ягоды полежали и усохли. Их влажность стала 98%. Сколько килограммов ягод стало после усушки? Ответ дать с точностью до 1 кг.

Последнее замечание неявно подсказывает неверный вывод: поскольку влажность стала на 1%-й пункт ниже, а всего было 100 кг, то и потери массы составили где-то около 1 кг (числа 100, 99 и 98 мало отличаются одно от другого). Такой вывод возникает как следствие применения при решении математической задачи неоправданной аналогии.

А теперь поступим так, как должен поступить математик.

Переведем условие задачи на математический язык. Ягод было 100 кг, а их исходная влажность равнялась 99%. Это означает, что сухого вещества в поступивших на склад ягодах было ровно 1 кг, а 99 кг составляла масса содержащейся в них воды. После усушки масса сухого вещества осталась прежней. Изменилась только масса воды. Но если вначале сухое вещество составляло 1% от общей массы ягод, то после усушки тот же 1 кг сухого вещества составил уже 2% от новой общей массы ягод. Это означает, что после усушки общая масса ягод стала всего 50 кг, так как 2% от 50 кг и есть 1 кг сухого вещества.

Задача была решена без какой-либо явной формализации, хотя вполне строго. Не составит труда предложить и ее формальное решение.

Обозначим через x массу ягод после усушки. (В условии задачи как раз и требуется найти численное значение x.) Тогда сухое вещество (а его масса равна 1 кг) составляет (100 − 98)%, т. е. 2% от x. Получаем уравнение

0,02 x = 1, или x = 1 : 0,02 = 50 (кг).

Утверждаю: математическая задача средней трудности, как правило, достаточно просто решается путем перевода ее содержательных условий на язык математических символов и соотношений и последующей заботой о том, чтобы каждое условие задачи было эффективно использовано. Трудности возникают, когда мы либо не умеем формализовать задачу, либо не знаем, как использовать какое-то из ее условий, либо недостаточно знакомы с необходимыми для ее решения положениями теории.

Приведем пример еще одной задачи, на этот раз геометрической, решение которой находится сразу, как только правильно использованы все ее условия.

Задача 2. Сумма двух противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равна а. Одна из сторон этого четырехугольника имеет длину b, а смежная с нею — длину c. Найти две другие стороны четырехугольника.

Прежде всего нужно использовать условие задачи, в силу которого четырехугольник описан около окружности, а для этого вспомнить основное свойство такого четырехугольника (если оно доказывается в рамках теоретического курса) или непосредственно вывести это свойство (если в теоретическом курсе его нет).

Обратимся к рисунку и проведем из центра окружности O радиусы в точки ее касания P, R, S, и T со сторонами четырехугольника AB, BC, CD и DA, соответственно.

Каждый из радиусов будет перпендикулярен соответствующей ему касательной, а отрезки двух касательных к окружности, проведенные из одной точки, будут попарно равны, т. е. АТ = АP, PВ = ВR, RС = CS, SD = DT.

Отсюда вытекает простое свойство описанного около окружности четырехугольника: суммы длин его противоположных сторон равны как равносоставленные, т. е. как состоящие из одинаковых по длине отрезков. (Рисунок позволяет убедиться в этом непосредственно.)

Воспользуемся остальными условиями задачи: AB + DC = AD + BC = а. Пусть, например, BC = b, DC = с. Тогда AB = а − с, AD = а − b.

Еще раз обратите внимание: мы не размышляли в поисках решения задачи, а лишь заботились о привлечении необходимых теоретических сведений, позволяющих эффективно использовать ее условия. Если вы наблюдательны, то могли заметить, что мы упомянули о том, что радиусы перпендикулярны своим касательным, но не воспользовались этим фактом. Это не совсем так, ибо косвенно мы к нему обращались. Решая задачу, мы воспользовались теоремой о том, что суммы длин противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны, и даже наметили доказательство этой содержащейся в школьном курсе теоремы, что, вообще говоря, излишне. Мы воспроизвели идею доказательства теоремы, ибо иначе решение было бы менее понятным. Исчезли бы важные геометрические ассоциации, позволяющие усвоить лежащую в его основе идею. По ходу доказательства мы воспользовались теоремой, в силу которой отрезки двух касательных к окружности, которые проведены из одной точки вне этой окружности, равны. Например, для точки С это будут отрезки SC и RC, т. е. SC = RC. При доказательстве этого

факта устанавливают равенство двух прямоугольных треугольников ORC и OSC (они равны, так как имеют общую гипотенузу OC и катеты OR = OS, равные радиусу окружности).

Когда-то для всех общеобразовательных школ был единый учебник геометрии. Десятилетиями он ежегодно воспроизводился. Содержание курса выпускник должен был знать досконально, а, решая задачи, не перегружать рассуждения доказательством теорем, на которые просто требовалась ссылка. Сейчас учебников много, а в их построении появилось разнообразие. Поэтому подобная жесткость со стороны экзаменатора во многих случаях стала невозможной. В рассуждениях появилось больше свободы, они стали более обыденными и менее таинственными. При очень экономном использовании теоретического курса решение задачи может стать менее понятным. Оно не получает необходимого отклика со стороны уже приобретенного учащимся опыта и не находит необходимой интуитивной поддержки.

Не всегда решить задачу удается так же просто, как в двух рассмотренных примерах. Бывает, что приходится выбирать из нескольких возможных вариантов перевода содержательной задачи на язык математических соотношений. При этом выбор может оказаться неудачным. Приходится отступить и начать сначала. В процессе подготовки к экзаменам вам и предстоит научиться делать правильный выбор в ситуациях, близких к стандартным.

И еще: вам предстоит вести правильный диалог с экзаменатором на устном экзамене и с самим собой — на письменном. Экзаменатор, вслушиваясь в ваш ответ на билет, время от времени будет задавать один и тот же вопрос: «Почему?». Не следует удивляться непонятливости вашего экзаменатора. Он задает этот вопрос, чтобы помочь вам. Вы должны были задать этот вопрос себе сами и своевременно на него ответить. Возможно, вы сочли эту подробность излишней, само собой разумеющейся. Тогда вам нужно правильно ответить на вопрос экзаменатора, и он будет удовлетворен. Но не исключено, что правильного ответа вы попросту не знаете. Первым сигналом неблагополучия станет для экзаменатора ваш недовольный тон. Мол, неужели этот факт не очевиден? Еще хуже, если вы начнете прямо агитировать экзаменатора, призывая его стать

сторонником вашей точки зрения, в справедливости которой вы, конечно же, не сомневаетесь. Выбор средств убеждения бывает у абитуриентов весьма широким. Нет смысла их перечислять, ибо все они, за небольшим исключением, напрасны. Позднее на апелляции абитуриент будет утверждать, что отвечал правильно и полно. Он будет и впредь уверен в своей правоте, если не усвоит, что, во-первых, вопрос «Почему?» экзаменатор задает не из любопытства и не из вредности, а из желания добиться от вас полного ответа на вопрос или обоснованного решения задачи. Во-вторых, вы обязаны знать, что в математике существует ровно шесть различных ответов на вопрос «Почему?». Вот эти ответы:

1) по условию (теоремы, задачи);

2) по сделанному нами предположению;

3) по определению;

4) в силу такой-то аксиомы;

5) в силу такой-то теоремы (следствия, свойства, формулы, соотношения, леммы — тоже являются теоремами);

6) приступаем к доказательству.

Только шестой из этих вариантов позволяет начать ответ словами «Потому что...». Это и означает, что вы приступаете к доказательству. Но даже в этом случае лучше этих слов не произносить, а сказать: «Сейчас мы это утверждение докажем.». Тем более не следует говорить: «Потому что.», когда требуется одна из первых пяти форм ответа на вопрос «Почему?».

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Почему квадрат корня квадратного из неотрицательного числа равен самому этому числу? Другими словами, почему

(√a)² = a?

Ответ. По определению квадратного корня.

Пример 2. Почему

Ответ. По определению логарифма.

Вспомните определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа а (а ≥ 0) называют неотрицательное число √a , квадрат которого равен а.

А теперь повторите определение логарифма: логарифмом положительного числа N (N > 0) по положительному и не равному единице основанию а (а > 0, а ≠ 1) называют такое число log_a N, что основание а в степени log_a N равно N. Мы убедились в том, что обе формулы (из примеров 1 и 2) представляют собой не что иное, как формальную запись определений квадратного корня и логарифма, соответственно.

Пример 3. Почему две параллельные прямые лежат в одной плоскости?

Ответ. По определению параллельных прямых.

Пример 4. Почему сумма внутренних углов треугольника равна 180°?

Ответ. По теореме о сумме углов треугольника.

Пример 5. Почему сумма всех нечетных чисел, начиная с 1 до 2n + 1, равна квадрату натурального числа n?

Отвечая на этот вопрос, мы не можем сослаться на одну из теорем курса. Поэтому нужно приступить к доказательству. Вы найдете его в главе, посвященной математической индукции.