Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003
Задачи
Наибольшие и наименьшие значения
24.1. Найдите все значения x, при которых функция
sin x − cos² x − 1
принимает наименьшее значение.
24.2. Найдите наибольшее значение функции
у = sin 2х sin (2х − π/6).
При каких значениях x оно достигается?
24.3. Найдите наибольшее значение функции
у = sin x cos² x − sin³ x cos x.
24.4. При каких значениях x и у выражение
2х² + 2ху + у² − 2х + 2у + 2
имеет наименьшее значение. Найдите это наименьшее значение.
24.5. Найдите наименьшее значение выражения
у = |х² − 1| + |х² − 4| + |x + 2| + |x + 1|.
24.6. Найдите наименьшее значение функции
у = х7 + a/7x, где x > 0, а > 0.
24.7. В круг радиусом R вписывается данный угол α. Какими должны быть длины хорд, образующих этот угол, чтобы их сумма была наибольшей?
24.8. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с площадью, равной 2 м², а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?
24.9. Найдите сторону наибольшего из квадратов, внутренние точки которых находятся внутри правильного шестиугольника со стороной а.
24.10. Найдите наибольшее значение дроби
если x может принимать любые действительные значения.
24.11. Контейнер для приборов должен быть сконструирован в форме прямоугольного параллелепипеда объемом 7,2 м³, причем площадь полной поверхности контейнера не должна превышать 24 м² при условии, что периметр основания не станет менее 10 м. Найдите размеры такого контейнера.
24.12. Найдите наименьшее значение функции
у = ctg² (α − x) + ctg² (α + x), 0 < α < π/2.
24.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
arcsin³ x + arccos³ x.
24.14. Найдите наименьшее значение функции
у = 2 sin² x − 3 sin 2x + 10 cos² x.
24.15. Найдите наименьшее значение суммы у + w, если x, у, z, w удовлетворяют системе
