Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003
Решения
Тригонометрические преобразования
12.1. В первых квадратных скобках после упрощений получим 2/sin x, вторые квадратные скобки заключают в себе выражение
Таким образом, первое слагаемое принимает вид
Второе слагаемое легко приводится к виду
Ответ.
12.2. Так как сумма углов 30° − α и 60° − α равна 90° − 2α, то
tg [(30° − α) + (60° − α)] = ctg 2α,
или
откуда следует наше тождество.
12.3. Рассмотрим выражение
Так как ctg x = ½(ctg x/2 − tg x/2), то
ctg x + ½ tg x/2 = ½ ctg x/2.
Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:
что и доказывает тождество.
12.4. Перепишем равенство
sin α cos (α + β) = sin β
в виде
sin α cos (α + β) = sin [(α + β) − α],
т. е.
sin α cos (α + β) = sin (α + β) cos α − sin α cos (α + β),
или
2 sin α cos (α + β) = sin (α + β) cos α.
Из условия следует, что cos (α + β) ≠ 0 и cos α ≠ 0. Разделим последнее равенство на cos (α + β) cos α. Получим
2 tg α = tg (α + β).
12.5.
Применяя последовательно формулу синуса двойного угла, приведем числитель к виду
Ответ. −1/8.
12.6. Вычислим вначале произведение косинусов:
Теперь вычислим произведение квадратов синусов, умноженное на 8:
Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных получим
Теперь можно найти произведение тангенсов.
Ответ. √7 .
12.7. Преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:
и воспользуемся условием. Получим
12.8. Доказательство представляет собой цепочку преобразований sin (x + y) sin (x − y) = sin² x cos² y − cos² x sin² y = k² sin² y cos² y − cos² x sin² y = sin² y (k² cos² y − cos² x).
Так как cos² x = 1 − k² sin² y, то выражение в скобках равно k² − 1. По условию −1 ≤ k ≤ 1, т. е. k² − 1 ≤ 0, и, следовательно, sin (x + y) sin (x − y) ≤ 0.
12.9. Вычислим а² + b²:
а² + b² = 2 + 2 (cos α cos β + sin α sin β) = 2 + 2 cos (α − β) = 4 cos² α − β/2. Теперь преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:
что и требовалось доказать.
12.10. Обозначим sin² α = а, sin² β = b, sin² γ = с. Тогда данное в условии соотношение примет вид
т. е.
2abс + аb(1 − с) + bс(1 − а) + ас(1 − b) − (1 − а)(а − b)(1 − с) = 0.
После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные члены, получим
−1 + с + b + a = 0,
что в первоначальных обозначениях соответствует равенству sin² α + sin² β + sin² γ = 1.
12.11.
При преобразованиях мы пользовались формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
Ответ. −3.
12.12. Так как
ctg α + ctg γ = 2 ctg β и β = π/2 − (α + γ),
то
Углы α и γ острые. Поэтому ctg α > 0 и ctg γ > 0 и на их сумму можно сократить:
откуда легко найти произведение котангенсов.
Ответ. 3.
12.13. Преобразуем данное выражение:
sin (90° + 16°) + cos (90° + 16°) ctg 8° = cos 16° − sin 16° ctg 8° = cos 16° − 2 sin 8° cos 8° cos 8°/sin 8° = cos 16° − 2 cos² 8° = cos 16° − (1 + cos 16°) = −1.