Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Решения
Логарифмические и показательные уравнения и системы

11.1.

11.2. Так как 1225 = 35², то

lg 122,5 = lg 35² − lg 10 = 2(lg 5 + lg 7) − 1 = 2(а + b) − 1.

11.3. Перепишем уравнение в виде

т. е. после того как вынесем 3^{2x − 1} и 2^x^{+ ½} за скобки,

Из последнего уравнения следует, что

3^{2x − 3} = (√2)^{2x − 3},

т. е. (³/_√2)^{2x − 3} = 1, откуда 2x − 3 = 0.

Ответ. x = ³/₂.

11.4. Обозначив 3^{−|x − 2|} = y, придем к квадратному уравнению

y² − 4y − а = 0,

корни которого

Первый корень

приходится отбросить, так как −|x − 2| ≤ 0 и 3^{−|x − 2|} ≤ 1, а

не может стать меньше двух.

Исследуем второй корень:

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:

Решая эту систему, найдем −3 ≤ а < 0.

Ответ. При −3 ≤ а < 0 два решения:

при остальных а решений нет.

11.5. Решая квадратное уравнение относительно 12^|x|, найдем

Первое ограничение: 1 − а ≥ 0, т. е. а ≤ 1. Кроме того, 12^|x| не может стать меньше единицы. Если перед корнем выбран знак плюс, то последнее требование выполняется, если же взят знак минус, то

лишь при а = 1. Это значение а можно учесть при рассмотрении уравнения

Ответ.

при а ≤ 1; при остальных а решений нет.

11.6. Уравнение можно записать так:

или

Прологарифмируем по основанию 10

откуда x₁ = 2, x₂ = −¹/_{lg 5}.

Ответ. 2, −¹/_{lg 5}.

11.7. Так как (2 + √3)(2 − √3) = 1, то 2 + √3 и 2 − √3 — взаимно обратные числа. Обозначим

(2 + √3)^x^{² − 2x} = y.

Тогда данное уравнение можно записать так:

y + ¹/_y = ¹⁰¹/₁₀

(мы разделили обе части уравнения на 2 + √3).

Решая это уравнение, найдем

y₁ = ¹/₁₀, y₂ = 10.

Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению

(2 + √3)^x^{² − 2x} = ¹/₁₀,

посторонний.

Так как 2 + √3 > 1, то x² − 2x < 0. Выражение x² − 2x достигает своего минимума в точке x = 1. Этот минимум равен −1. Поскольку 2+ √3 < 4, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее ¼, а следовательно, ни при каких x не равное ¹/₁₀.

Остается решить уравнение

(2 + √3)^x^{² − 2x} = 10.

Прологарифмируем его по основанию 2 + √3:

x² − 2x − log_{2 + √3} 10 = 0.

Ответ.

11.8. Перепишем уравнение так:

Сразу же видно, что x = 2 — корень уравнения. Покажем, что других корней нет.

Обозначим для удобства первое основание через а, а второе через b. Оба этих основания меньше единицы. Поэтому

b < а < 1;

если x < 2, то а^x > а², b^x > b², и следовательно,

а^x + b^x > 1;

если же x > 2, то а^x < а², b^x < b², и следовательно, а^x + b^x < 1.

Ответ. x = 2.

11.9. Если x − 2 ≠ 0, 1, −1, то log₂ (x + 31) = 3, x = −23. При x = 2 = 0, т. е. x = 2, имеем

, и так как log₂31 > 0, то уравнение удовлетворяется.

При x − 2 = 1, т. е. x = 3, уравнение также удовлетворяется.

Если x − 2 = −1, т. е. x = 1, имеем

Остается проверить значение x = −23. Тогда log₂ 8 = 3, и уравнение снова удовлетворяется.

Ответ. −23, 1, 2, 3.

11.10. Так как log₃ (3^x^{+ 1} − 3) = 1 + log₃ (3^x − 1), то, обозначив log₃ (3^x − 1) через y, получим

y² + y − 6 = 0,

откуда y₁ = −3, y₂ = 2.

Если log₃ (3^x − 1) = −3, то 3^x = ²⁸/₂₇ и x₁ = log₃ 28 − 3. Если log₃ (3^x − 1) = 2, то 3^x = 10 и x₂ = log₃ 10.

Ответ. log₃ 28 − 3, log₃ 10.

11.11. Перепишем уравнение в виде

log₇ x + log_x 7 = log²₇ x + log²_x 7 − ⁷/₄.

Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что log₇ x · log_x 7 = 1) и обозначим

log₇ x + log_x 7 = y.

Получим уравнение:

4у² − 4у − 15 = 0, откуда у₁ = ⁵/₂, y₂ = −³/₂.

Если log_x 7 + log₇ x = ⁵/₂, то

Если же log_x 7 + log₇ x = −³/₂, то получим уравнение

y которого нет действительных корней.

Ответ. x₁ = 49, x₂ = √7.

11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к общему основанию логарифмов:

откуда следует уравнение

y³ − 2y + 1 = 0,

где y = log₃ x.

Так как у³ − 2y + 1 = (y − 1)(y² + y − 1), то

y₁ = 1, y_2,3 = ^{−1 ± √5}/₂.

Находим соответствующие x и проверяем их.

Ответ. x₁ = 3, x_2,3 = 3.

11.13. Если

y = log_х 3,

то придем к уравнению

из которого получается цепочка следствий

Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.

Ответ. x = ¹/₉.

11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим следствие данного уравнения:

log₄ x + log₄(10 − x) = 2,

откуда

x² − 10x + 16 = 0, x₁ = 2, x₂ = 8.

Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.

Ответ. x₁ = 2, x₂ = 8.

11.15. Перепишем данное уравнение так:

При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения^[21].

Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим log_x 2 = y:

¹/_{1 − y} − ²¹/_{4y + 1} + ¹⁰/_{2y + 1} = 0.

Это уравнение равносильно системе

При y = −2 и y = ½, являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.

Ответ. x₁ = 1, x₂ = ¹/_√2, x₃ = 4.

11.16. Перепишем уравнение в виде

Так как

то придем к уравнению

log₂ 6 − log₂ (4 − x) = log₂ (3 + x),

откуда

х² − x − 6 = 0, x₁ = −2, x₂ = 3.

Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как

при x = −2 не существует.

Ответ. x = 3.

11.17. Уравнение равносильно системе

или

Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если

x⁴ + 2x³ + 2x − 1 = (х² + x − 1)²,

то, раскрывая скобки, получим

х² + 4x − 2 = 0, x_1,2 = −2 ± √6.

Если же

x⁴ + 2x³ + 2x − 1 = −(х² + x − 1)²,

то

x²(2x² + 4x − 1) = 0; x₃ = 0, x_4,5 = ^{−2 ± √6}/₂.

Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при x = 0 нарушается условие |х² + x − 1| ≠ 1. При остальных найденных значениях x оба условия выполняются.

Ответ. x_1,2 = −2 ± √6; x_3,4 = ^{−2 ± √6}/₂.

11.18. Преобразуем первое слагаемое:

При переходе к логарифмам с основанием а мы наложили на а дополнительное ограничение: а ≠ 1. Однако при а = 1 данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене

на x могут быть введены посторонние корни x < 0.

Мы получили уравнение относительно

y² − 5у + 6 = 0; y₁ = 2, y₂ = 3,

откуда

Ответ. При

11.19. Логарифмируя и заменяя log_x а на

, получим

т. е.

Отсюда видно, что если x удовлетворяет этому уравнению, то log_a x > 0, а потому log_a x + 1 > 0. Следовательно,

Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как

а второе слагаемое неотрицательно, то а > 1 (значение а = 1 мы исключили, так как а — основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.

При log_a x ≥ 1, т. е. при x ≥ а > 1, получим уравнение

Так как а > 1, то x > а.

При 0 < log_a x < 1, т. е. при x < а, получим второе значение неизвестного:

которое будет меньше а, так как а > 1.

Ответ. При

11.20. Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, x и y оба положительны.

Прологарифмируем оба уравнения:

Так как x > 0 и y > 0, то разделим первое уравнение на второе:

а потому

Подставим найденное значение x в первое из данных уравнений:

Если y = 1, то из первого уравнения системы получаем x = 1, что не удовлетворяет второму уравнению.

Так как значения y = 0 и y = −1 исключены, то остается

Вспомнив, что log₃ 15 = 1 + log₃ 5, получим

и найдем x.

Ответ.

11.21. Возведем второе уравнение в степень y

1024 = (^2x/₃)^2y

и воспользуемся тем, что x^y = 243. Так как 1024 = 2¹⁰, а 243 = 3⁵, то получим

2¹⁰ = (⅔)^2y · 3¹⁰, откуда (⅔)¹⁰ = (⅔)^2y

и y = 5. Из первого уравнения находим x = 3.

Делаем проверку и убеждаемся, что мы нашли решение системы.

Ответ. (3, 5).

11.22. Из самого вида системы следует, что x > 0, y > 0. Из второго уравнения имеем

а после подстановки в первое

Если y ≠ 1 (случаи y = 0 и y = −1 уже исключены), то, приравнивая показатели степеней, получим

Подставляя в первое уравнение, найдем

Следовательно,

откуда получаем x₁ = ¹⁶/₈₁, у₁ = ⁴/₉. Проверкой убеждаемся, что это — решение исходной системы.

Остается проверить, что произойдет при y = 1. Легко видеть, что тогда и x = 1.

Ответ. (¹⁶/₈₁, ⁴/₉), (1, 1).

11.23. Так как

то

Подставив в первое уравнение исходной системы и обозначив

получим

(21 − 2u)(16 − u) − 2u³ = 71,

а после раскрытия скобок

u = 5, т. е. y = 2.

Остальные неизвестные находятся легко.

Ответ. (2, 2, 1).

11.24. Второе уравнение можно записать в виде

2^x^{+ 2у} (x · 2^x^{− y + 1} + 3y · 2^{2x + y}) = 1.

В силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому

2^x^{+ 2у + 1} = 1,

откуда

x + 2y + 1 = 0, т. е. x = −2y − 1.

После подстановки в первое уравнение системы получим

2^{−3y − 3} = ¹/_{−4 − 5y}, или 2^{3(y + 1)} = −(4 + 5y).

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства

−(4 + 5у) > 0, т. е. y < −⁴/₅.

Рассмотрим следующие три случая.

1. 3(y + 1) < 0, т. е. y < −1. В этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е. −(4 + 5у) < 1, откуда y > −1. Поскольку ограничения y < −1 и y > −1 несовместны, при сделанном предположении нет решений.

2. 3(y + 1) > 0, т. е. y > −1. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому y < −1. И на этот раз ограничения несовместны.

3. Остается посмотреть, что будет при 3(y + 1) = 0, т. е. y = −1. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению y соответствует x = 1. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.

Ответ. (1, −1).

11.25. Первое уравнение системы можно переписать в виде

log₈ (y − x)³ = log₈ (3y − 5х).

Следствием данной системы является система

Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y:

5(y − x)³ = (3y − 5х)(х² + y²).

Если x ≠ 0, то разделим последнее уравнение почленно на x³ и обозначим ^y/_x = u. Получим уравнение относительно u:

u³ − 5u² + 6u = 0,

которое имеет корни: u₁ = 0, u₂ = 2, u₃ = 3.

Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±√5.

При подстановке в первое уравнение исходной системы x = −√5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = √5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3x, а потому x² = ½, откуда

x =±¹/_√2, y = ±³/_√2

(x и y в силу равенства y = 3x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут

x = ¹/_√2, y = ³/_√2.

Если u = 2, то y = 2x. Из двух систем значений (−1, −2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.

Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.

Ответ. (−√5, 0); (¹/_√2, ³/_√2); (1, 2).

11.26. Способ 1. Из второго уравнения

Подставляем в первое:

Так как

то получим уравнение

Прологарифмируем по основанию 3:

3log₃² x − 8log₃ x + 4 = 0,

откуда x₁ = 3^⅔, x₂ = 9.

Находим соответствующие y и делаем проверку.

Способ 2. Применим равенство

(оно доказывается с помощью логарифмирования) к первому уравнению. Получим

т. е.

или

Прологарифмировав по основанию 3, решим полученное уравнение совместно со вторым уравнением системы:

Ответ.

11.27. Так как x и y одного знака (это следует из второго уравнения) и x + y > 0 (из первого), то x и y положительны, причем либо x, либо y обязательно больше 1 (так как xy = 3). Следовательно, x + y > 1 и данная система может быть переписана так:

Если 0 < x − y < 1, то получим систему

следствием которой является система

Из первого уравнения получим 7 x = 9y. Подставляя сюда y = ³/_x, найдем x² = ²⁷/₇, откуда

Убеждаемся, что при этих значениях x и y неравенство 0 < x − y < 1 выполняется.

Если x − y > 1, то получим систему

следствием которой является система

Подставляя в первое уравнение y = ³/_x, получим уравнение

x⁴ − 8x² − 9 = 0.

Так как x² ≠ −1, то остается x² = 9, откуда x = 3, а y = 1. (Ограничение x − y > 1 удовлетворяется.)

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x − y > 0, что уже сделано.

Ответ.

11.28. Прологарифмируем и обозначим log₂ x = u, log₂ (y + 1) = u:

откуда

Находим соответствующие x и y; проверка не обязательна, так как равносильность не была нарушена.

Ответ. (√2, 15); (2, 3).

11.29. Так как log_a_² x = ½ log_a x (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь log_|a| x), а log_√b √y = log_b y, то систему можно переписать следующим образом: