Пирамида - Урок 2 - Стереометрия - Геометрия - Повышенный уровень 1

1068. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны рёбра: АВ = √3, SC = 2√10. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN, где М — середина ребра AS, а точка N делит ребро ВС в отношении 1:2.

1069. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны рёбра: АВ = √3, SC = 2√2. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой CN, где N — середина ребра AS.

1070. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD угол между ребром SA и плоскостью основания равен π/3. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды, если а проходит через точку А и середину ребра SC параллельно диагонали BD.

1071. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Через сторону основания АВ и середину бокового ребра SE проведено сечение. Найдите тангенс угла между прямой АЕ и плоскостью проведённого сечения.

1072. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Через сторону основания АВ и середину бокового ребра SD проведено сечение. Найдите синус угла между прямой AD и плоскостью проведённого сечения.

1073. В правильной треугольной пирамиде DABC высота DH равна стороне основания. Точка К — середина бокового ребра DA. Найдите угол наклона прямой КН к плоскости основания пирамиды.

1074. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SH в два раза меньше диагонали основания. Точка К делит боковое ребро SA в отношении 1:2, считая от вершины А. Найдите угол наклона прямой КН к плоскости основания пирамиды.

1075. В правильной треугольной пирамиде SABC все рёбра равны 4. Найдите расстояние между прямыми АВ и SC.

1076. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания ABCDEF равны 3, а боковые рёбра равны 5. Найдите угол между прямыми SE и AF.

1077. Дан правильный тетраэдр, в который вписана сфера радиуса r. Найдите отношение r/R, где R — радиус сферы, описанной около тетраэдра, вершинами которого являются точки пересечения высот граней исходного тетраэдра.

1078. Дан правильный тетраэдр, около которого описана сфера радиуса R. Найдите отношение r/R, где r — радиус сферы, вписанной в тетраэдр, вершинами которого являются точки пересечения биссектрис граней исходного тетраэдра.

1079. Сторона основания АВС правильной треугольной пирамиды РАВС равна 6, а ребро АР = √28. Точка N делит высоту РО пополам. Найдите ∠ОAN.

1080. Высота РО правильной треугольной пирамиды РАВС равна √108, а сторона её основания АВС равна 6. Точка N делит высоту РО в отношении 2:1, считая от точки Р. Найдите ∠BNO.

1081. В правильной треугольной пирамиде сторона основания составляет 1/3 бокового ребра. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями.

1082. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания ABCD равна 4, а угол BFD равен 60°, где F — середина SC. Найдите высоту пирамиды.

1083. В правильном тетраэдре SABC точки М и N делят ребро SB на три равные части. Найдите угол между плоскостями AMС и ANС.

1084. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна боковому ребру, точки М и N делят ребро SC на три равные части. Найдите угол между плоскостями AMD и AND.

1085. В сферу объёмом 36π вписана правильная шестиугольная пирамида. Расстояние от центра сферы до основания пирамиды равно 1. Найдите объём пирамиды.

1086. В сферу объёмом 36π вписана правильная восьмиугольная пирамида. Расстояние от центра сферы до основания пирамиды равно 1. Найдите объём пирамиды.

1087. Ребро правильного тетраэдра равно 4√2. Определите радиус шара, касающегося всех рёбер тетраэдра.

1088. Шар радиуса 3√2 касается всех рёбер правильного тетраэдра. Определите длину рёбер этого тетраэдра.

1089. В правильной треугольной пирамиде ABCS ребро основания АВ равно боковому ребру AS = 4. Точка К является серединой апофемы боковой грани BCS. Найдите угол между прямыми ВК и АС.

1090. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найдите угол, образованный гранями SAB и SCB.

1091. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, точка К — середина ребра SB. Найдите расстояние от точки В до плоскости АКС.

1092. Сторона основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 4, а её высота равна 2. Найдите расстояние от прямой ВС до боковой грани SAD.

1093. Сторона основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 3, а её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите расстояние от прямой ВС до боковой грани SAD.

1094. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4√3. Через вершину основания проведено сечение, параллельное противоположной стороне основания и перпендикулярное противоположной боковой грани пирамиды. Сечение наклонено к плоскости основания пирамиды под углом, тангенс которого равен Найдите объём пирамиды.

1095. В правильном тетраэдре со стороной √2 найдите длину отрезка, соединяющего середины несмежных рёбер.

1096. Правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все рёбра которой равны 4, касается треугольной пирамиды КSBC общей гранью SBC. SK || АВ, КВ = 4. Найдите КО, если известно, что О — центр основания пирамиды SABCD.

1097. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все рёбра равны 6. Грань SBC является основанием пирамиды КSBC, которая пересекается с SABC только по граниSBC. Ребро SK параллельно высоте треугольника АВС, опущенной из вершины A. SK = 3√3. Найдите АК.