Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Прямоугольный параллелепипед - ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) ввести понятия прямоугольного параллелепипеда;

2) рассмотреть свойства его граней, двугранных углов, диагоналей.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели.

II. Проверка домашнего задания

Двое учеников у доски записывают решение домашнего задания:

№ 173 и № 174.

№ 173. Дано: ABCD - тетраэдр; CD ⊥ (ABC); АВ = ВС = АС = 6; BD = 3√7 (рис. 1).

Найти: двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

Решение:

1) Так как DC ⊥ (ABC), то DCA ⊥ ABC пo признаку перпендикулярности двух плоскостей, двугранный угол DAСВ - прямой.

2) Проведем СК ⊥ АВ, тогда АВ ⊥ DK (по теореме о трех перпендикулярах), значит, ∠DKC - линейный угол двугранного угла при АВ. Из ΔАСК: СК = АС · sin 60°, Из BDK: ВК = 1/2, АВ = 3 (СК - высота равнобедренного треугольника). По теореме Пифагор.

Из прямоугольного ΔDCK по теореме Пифагора DC находится из прямоугольного ΔDCB - по теореме Пифагор.

3) Так как ВС ⊥ DC и АС ⊥ DC, то угол ∠ACB линейный угол двугранного угла BDCA. Так как ΔABC - равносторонний ⇒ ∠ACB = 60°, то двугранный угол равен 60°. (Ответ: 60°, 45°, 90°.)

№ 174. Дано: ABCD - тетраэдр; АС = СВ = 5; DB = 5√5 ; ∠DAB = ∠DAC = ∠ACB = 90° (рис. 2).

Найти: двухранные углы тетраэдра ABCD.

Решение: DA ⊥ АВ, DA ⊥ АС ⇒ DA ⊥ AВС, значит, АС - проекция DC на плоскость ABC, ∠ABC = 90°, ВС ⊥ АС, значит, ВС ⊥ DC по теореме о трех перпендикулярах, ∠ACD - линейный угол двугранного угла ABCD. Из ΔACD: Из ΔDCA: (Ответ: 60°.)

Двое учеников решают по карточкам: Дано: ABCD - тетраэдр; DC = 8 см, СВ = 6 см; AD ⊥ ABC; ∠DCB = 90°, ∠DBA = 45° (рис. 3).

Найти: AD.

Решение: ΔDCB: ΔDAB - прямоугольный; ∠A = 90°, так как ∠DBA = 45° ⇒ ΔDAB - прямоугольный равнобедренный. AD = АВ = х, по теореме Пифагора (Ответ: 5√2.)

Дано: МАВС - тетраэдр, МА ⊥ ABC, МС = 4 см; СВ = 6 см, ∠CAB = 120°; АС = АВ (рис. 4).

Найти: MB, ABC.

Решение: ΔСМВ: MB = СМ = 4 см (так как СА = АВ, МА ⊥ САВ ⇒ наклонные тоже будут равны; в ΔСАВ проведем высоту АК, так как СА = АВ по условию ⇒ ΔСАВ - равнобедренный. АК - является медианой и высотой; КВ2 = АВ2 - АК2; обозначим АК = х, получим уравнение: (Ответ: 30°.)

Остальные учащиеся решают задачу.

Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, которое проведено через середины ребер АВ, AD и А1В1. Каким многоугольником является это сечение?

Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, L ∈ A1B1, L - середина A1B1, М ∈ AD, М - середина AD; К ∈ АВ, К - середина АВ (рис. 5).

Построить: 1) сечение LKM; 2) Каким многоугольником является сечение.

Построение:

1) LKM ∩ А1АВ = L.

2) LKM ∩ ABC = М.

3) Грани ABC параллельны А1В1С1, значит, отрезки сечения параллельны.

4) Строим LN || KM.

5) KLNM - параллелограмм.

Ответьте на вопросы:

- Что называется параллелепипедом?

- Грани, вершины, противоположные вершины, противоположные ребра, диагональ параллелепипеда.

- Свойства параллелепипеда.

Объяснение темы

1) Определение прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

2) Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники.

Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.

2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые.

Самостоятельно доказать свойство.

3) Понятия измерений прямоугольного параллелепипеда.

4) Теорема:

Доказательство предлагается учащимся выполнить самостоятельно.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед.

Доказать:

Доказательство: так как СС1 ⊥ ABCD ⇒ ∠ACC1 - прямой из прямоугольника ΔАСС1: по теореме Пифагора АС - диагональ прямоугольника ABCD, поэтому следовательно, теорема доказана.

Следствие: диагонали параллелепипеда равны.

Предложить учащимся назвать все диагонали:

III. Формирование навыков и умений учащихся

№ 187 в. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = √39 ; AD = 7; АА1 = 9.

Найти: АС1.

Решение: (Ответ: 13.)

№ 190 в. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; К - середина A1D1 (рис. 6).

Найти: Двугранный угол А1ВВ1К.

Решение: Плоскости значит, значит, (по определению перпендикулярной прямой и плоскости); ∠А1В1К — линейный угол двугранного угла КВ1ВА из прямоугольного ΔА1В1К; ∠A1 - прямой, (К - середина A1D1 - по условию); А1В1 = а — все ребра у куба равны; (Ответ: )