Решение задач на свойства прямоугольного параллелепипеда - ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) повторить свойства прямоугольного параллелепипеда;

2) решить часть задач на свойства прямоугольного параллелепипеда.

Ход урока

I. Актуализация знаний

1) Один ученик у доски доказывает свойства прямоугольного параллелепипеда, другой теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.

2) Устный счет:

3) Формирование навыков и умений у учащихся.

№ 195. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АС1 = 12 см; D1; AA1D1 = 30°; ∠BD1D = 45° (рис. 2).

Найти: АВ, AD, АА1.

Решение:

1) BD1 = AC1 = 12 см;

2) АВ ⊥ ADD1, значит, AD1 - проекция BD1 на плоскость AA1D1, значит, ∠AD1B = 30°;

3) Из ΔABD1:

4) ΔDD1B - прямоугольный равнобедренный; ∠D1DB = 90°, так как ∠DD1B = 45° ⇒ DD1 = DB = х, по теореме Пифагора то есть Из прямоугольного треугольника АОВ найдем AD по теореме Пифагора (∠DAB = 90°), (Ответ: 6 см, 6 см, 6√2 см.)

№ 1966. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб (рис. 3).

Построить: сечение плоскостью, проходящей через АВ и ⊥ CDА.

Построение: проведем АО ⊥ A1D, так как AA1D1D - квадрат Соединим ОО1; АВО1О - искомое сечение.

Вопросы: Какой фигурой является АВО1О? Ответ объясните. Найдите его площадь, если ребро куба а.

Решение:

Самостоятельная работа

I уровень

1) Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = 6 см, AD = 4 см, АА1 = 12 см (рис. 4).

Найти: АС1.

Решение: (Ответ: 14 м.)

2) Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = 4 м, AD = 3,

Найти: Sбок..

Решение: по теореме Пифагора (Ответ: 56 см2.)

II уровень

Дан прямоугольный параллелепипед. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ основания равна k.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, ∠BDC = α, ∠B1DC = β; диагональ BD = k (рис. 5).

Найти: Sбок..

Решение: Рассмотрим прямоугольный ΔBDC: так как

Из прямоугольного ΔB1CD:

III уровень

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с меньшей гранью угол β. Через большие стороны верхнего и нижнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол. Зная, что периметр равен Р, найдите измерения параллелепипеда.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; ∠A1DC1 = β; AB1C1D - сечение параллелепипеда; (рис. 6).

Найти: AD, АВ, АА1.

Решение: LB1C1D = 90° по теореме о 3-х перпендикуляpax; подставить в (1), получим вынесем

(Ответ: )

V. Подведение итогов

Домашнее задание

А - № 192, 194, 196 a.

В - 1) Стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда равны 8 дм, 9 дм. Чему равна площадь диагонального сечения?

2) Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящихся в одной вершине, равны 8 м, 10 м и 12 м. Найдите линейные размеры этого параллелепипеда.