Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий - урок 2 - АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

Цель урока:

- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Двое учащихся у доски готовят решения задач из домашней работы - № 9, 15.

Остальные отвечают на вопросы математического диктанта.

Вариант I

1) Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве? (Стереометрия.)

2) Назовите основные фигуры в пространстве.

3) Сформулируйте аксиому А2

4) Сформулируйте аксиому A3.

5) Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки? (Нет.)

6) Сколько плоскостей можно провести через три точки? (Одну..

Вариант II

1) Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости? (Планиметрия.)

2) Назовите основные фигуры на плоскости.

3) Сформулируйте аксиому А1.

4) Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку? (Одну.)

5) Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости? (Одна; бесконечно много; ни одной.)

6) Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку? (Да..

Собрать листочки с ответами. Заслушать решение задач у доски.

III. Решение задач (фронтальная работа)

Задача № 1

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. Д ∈ MB, Е ∈ МС, F ∈ АВ, AF = FB, Р ∈ МА.

1) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и MFC; б) MCF и ABC.

2) Найдите длину CF и SABС.

3) Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью ABC?

Решение:

1. аксиома А3 МАВ ∩ MFC = MF.

аксиома А3 MCF ∩ ABC = FC.

2. ΔABC - равносторонний ⇒ FC - медиана, высота, биссектриса. ΔCFB - прямоугольный: СВ = 6 (см), FB = 3 (см). По теореме Пифагора

- Как еще можно найти длину FC?

- Как по-другому найти SABC?

3. ДЕ и ВС лежат в плоскости ВМС. Пусть они пересекаются в точке К, так как К принадлежит ВС, значит К принадлежит плоскости АВС (аксиома А2):

Задача № 2

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, Р ∈ ВВ1, В1Р = РВ.

1) Как построить точку пересечения плоскости ABC с прямой Д1Р?

2) Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?

3) Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а.

Решение:

1. Д1Р и ДВ лежат в одной плоскости Д1ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка К принадлежит прямой ДВ, а значит, К ∈ ABC.

2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ1. Точка Р принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Следовательно, по аксиоме А2: АР ⊂ АВВ1. Аналогично АР ⊂ АД1Р. Значит, АД1Р ∩ АВВ1 = АР.

3. а) Из ΔАВР, по теореме Пифагора б) Из ΔАДД1, по теореме Пифагора

Далее работа строится следующим образом:

I уровень (задачи № 3, 4 - фронтальная работа)

II уровень (самостоятельная работа.

Задача № 3

Точки А, В, С не лежат на одной прямой. М ∈ АВ, К ∈ АС, Р ∈ МК.

Докажите, что точка Р лежит в плоскости ABC.

Решение: АВ ∩ АС = А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М ∈ АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К ∈ АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК ⊂ α. Точка Р ∈ МК, а значит, и плоскости α.

Задача № 4

Плоскость α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

Решение: По условию, прямая а пересекает плоскость β. Пусть a ∩ β = В(В ∈ а). По условию прямая а принадлежит плоскости а, значит, В ∈ а. По аксиоме А3 существует прямая с, такая, что B ∈ c.

II уровень (самостоятельное решение задач)

1. Дан прямоугольник АВСД, О - точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 (см), ∠AOB = 60°.

Решение:

1) Так как В принадлежит α и точка О принадлежит α, то ВО принадлежит α. Так как точка Д принадлежит ВО, то Д принадлежит α (по аксиоме А2). Аналогично точка С принадлежит α:

2) Возможны различные способы решения задачи:

1. Найти стороны прямоугольника.

2. Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма (прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.

3. Использовать формулу (Ответ: )

IV. Подведение итогов

Оценки за урок.

Домашнее задание

П. 1-3.

I уровень

1. Прямые а и b пересекаются в точке О, А ∈ α, В ∈ b, Р ∈ АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.

2. На данном рисунке плоскость α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К - точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α?

II уровень

1. Даны пересекающиеся плоскости β и α (рис. а, б). Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β в точке А. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает α в точке В. Докажите, что АВ - линия пересечения плоскости α и β.