Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Умножение вектора на число - СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО - ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цели урока:

1) рассмотреть правило умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач;

2) повторить и систематизировать знания по теме «Векторы»;

3) совершенствовать навыки выполнения действий над векторами.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Контроль домашнего задания

На доске приготовить заранее чертежи к задачам № 327, 330 и вызвать двоих учеников для записи решений этих задач по уровням.

Кроме того, вызвать 1 ученика для записи и объяснения решения задачи № 335 и задачи № 340, если ребята справились с творческим заданием.

№ 327 (рис. 1)

№ 330 (рис. 2)

Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы соответственно через Изобразите на рисунке векторы:

Решение:

№ 335

№ 340. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите вектор , начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что (рис. 3).

Решение: Поэтому нужно найти вектор такой, что Из этого равенства находим: или

В это время обсудить конспекты (выполненные дома) и повторить в вопросно-ответной форме материал предыдущего урока: правила сложения и вычитания векторов, свойства сложения, правило многоугольника для суммы нескольких векторов.

III. Актуализация опорных знаний (задания для самостоятельного выполнения с последующей проверкой)

№ 1. Найти:

(Ответы: ..

№ 2. Начертите неколлинеарные векторы Постройте векторы:

IV. Изучение нового материала

Сформулировать правило умножения вектора на число: если то при при k < 0. Если

Подробно рассмотреть на примерах свойства умножения вектора на число и попросить ребят изобразить схему в тетрадях.

Умножение вектора на число

Сочетательный закон

Первый распределительный закон

Второй распределительный закон

Обратить внимание учащихся на то, что так же, как и в планиметрии, можно доказать следующее утверждение: если векторы коллинеарные и то существует число k, такое, что (рекомендовать повторить доказательство учащимся, проявляющим интерес к геометрии)

V. Закрепление изученного материала

1) Решение задач из учебник.

Задача № 345

Точки Е и F - середины сторон АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О - произвольная точка пространства. Выразите вектор через вектор (рис. 4).

Решение: Так как EF - средняя линия треугольника ABC, то EF || АС и EF = 1/2AС. Поэтому

Задача № 347

а) Упростите выражение

Решение:

Задача № 348

Дан параллелепипед ABCDA1В1C1D1. (рис. 5).

Докажите, что

Решение: Из рисунка видно, что

Практическая работа (выполняется на листочках и сдается на проверку)

1) Отметьте на прямой а три точки А, В и М так, что:

2) Точка О - произвольная точка пространства. Для каждого случая из а-г 1) выразите вектор через векторы

3) Точки А, В и М лежат на одной прямой, причем Найдите а, если для данных точек и произвольной точки О выполняется равенство:

Постройте точки, удовлетворяющие каждому из этих равенств.

VI. Подведение итогов (блиц-опрос по вопросам):

- Что называется произведением ненулевого вектора на число?

- Что называется произведением нулевого вектора на число?

- Свойства умножения вектора на число.

- Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарные; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарные; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если

Домашнее задание

I уровень - № 349, 351; II уровень - № 352, 353; творческое задание - № 385.

Решение домашних зада.

№ 351

Векторы а также коллинеарные. Докажите, что коллинеарные векторы:

Доказательство:

1 способ

- коллинеарные, - коллинеарные.

а) Прямые, на которых лежат либо параллельны, либо совпадают. Прямые, на которых расположены либо параллельны, либо совпадают. Две прямые, параллельные третьей, параллельны ( значит, ). Таким образом, расположены либо на нескольких прямых, либо на одной, то есть коллинеарные;

б) - коллинеарные, коллинеарен значит, коллинеарен и и По условию, коллинеарные, значит, и тоже коллинеарные;

в) Так как коллинеарные, то коллинеарные. По условию коллинеарные, тогда и коллинеарные;

г) коллинеарные, поэтому коллинеарен По условию коллинеарные, значит, и коллинеарные.

2 способ

а) Отсюда

б) коллинеарные;

в) коллинеарные;

г) коллинеарные.

№ 352

Векторы коллинеарные.

Докажите, что векторы коллинеарные.

Доказательство: Примем По условию, то есть где Равенство доказывает, что коллинеарные.

№ 353

Векторы коллинеарные.

Докажите, что векторы коллинеарные.

Доказательство: По условию, то есть где Равенство показывает коллинеарность

Творческое задание

№ 385

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О - произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство (рис. 6).