Объем цилиндра - урок 2 - Объем прямой призмы и цилиндра - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цели урока:

- повторить тему об объеме цилиндра;

- выработать навыки решения задач с помощью формулы объема цилиндра.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний

1. Доказательство теоремы об объеме цилиндра;

2. Решение задачи № 669 из домашней работы;

3. Решение задачи № 671 (г) параллельно с доской.

Задача № 669. Дано: цилиндр, Sосн. = Q, Sсеч. = S (рис. 1).

Найти: V.

Решение:

DC = h, т.е. (Ответ: )

II. Формирование умений и навыков учащихся

Задача № 671 г). Дано: цилиндр, вписанная n-угольная призма, n = 8 (рис. 5 урок № 37).

Найти:

Решение: (Ответ: )

III. Самостоятельная работа (20-25 мин.) (см. приложение)

Ответы:

I уровень: I вариант: № 1. 108 + 36√2 . №2. 128π: II вариант: № 1. 864√3. № 2. 54π.

II уровень: I вариант: № 1. 768√3. № 2. 3πR3; II вариант: № 1. 125. № 2. 3468π.

III уровень: I вариант: № 1. 50 см3. № 2. II вариант: № 1.4 см. № 2.

IV. Подведение итогов

- Какие данные необходимо иметь для определения объема цилиндра?

Собрать тетради с самостоятельными работами, сообщить правильные ответы.

Домашнее задание

П. 66, № 670, 672, 745.

Решение задач самостоятельной работы.

I уровень

Вариант I

№ 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, ∠С = 90°, АС = 6 см, ∠ВАС = 45°, Vnp. = 108 см3 (рис. 2).

Найти: Sполн.

Решение:

2) Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный по условию, ∠ВАС = 45° ⇒ ΔАВС равнобедренны.

3) Найдем периметр основания:

4) Из формулы для вычисления объема прямой призмы выражаем высоту призмы и находим ее

(Ответ: (108 + 36√2 см2.)

№ 2. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 8√2 см. (рис. 3).

Найдите: Vцил.

Решение:

1)

2) Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат. Пусть АВ = ВС = X см, тогда не удовлетворяет условию задачи. Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. h = 8 (см).

3) Найдем радиус основания: r = 1/2AD = 4 см, тогда

4)

(Ответ: 128 см3.)

Вариант II

№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямая призма, BB1D1D - диагональное сечение, ABCD - ромб; BB1D1D - квадрат. АВ = 12 см, ∠BAD = 60° (рис. 4).

Найдите объем призмы.

Решение:

1)

2)

3) Рассмотрим ΔABD. т. е. ΔABD - равносторонний, BD = 12 cм.

4) Диагональное сечение BB1D1D является квадратом, т. е. h = BB1 = BD = 12 см.

5) Находим объем призмы.

(Ответ: 864√3 см3.)

№ 2. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6√2 см (рис. 3).

Найдите: Vцил.

Решение:

1)

2) Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD - квадрат. Обозначим АВ = ВС = х см, тогда не удовлетворяет условию задачи, т. е. АВ = ВС = 6 см, и так h = 6 см.

3) Найдем радиус основания

4)

(Ответ: 54п см3.)

II уровень

Вариант I

№ 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, К - середина ребра, ∠KDB = 60° (рис. 5).

Найти: Vпр.

Решение:

1) Рассмотрим получившееся сечение: ΔАКС и определим угол между плоскостью (АКС) и плоскостью основания. В ΔАВС проведем BD ⊥AC, тогда AC ⊥ KD (теорема о трех перпендикулярах). ∠KDB и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью (АКС) и плоскостью основания; ∠KDB = 60°.

2)

3) Найдем площадь основания.

Рассмотрим ∠AВС: равнобедренный, поэтому BD - высота, медиана и биссектриса треугольника, т. е. AD = DC = 6 см. Далее из ∠BDC по теореме Пифагора находим высоту треугольника ABC: (Для вычисления площади ΔABC можно воспользоваться формулой Герона.)

4) Найдем высоту призмы ВВ1.

Рассмотрим ΔBDK - прямоугольный,

5)

(Ответ: 768√3 см3.)

№ 2. Дано: цилиндр. (MNKL) || ОО’, ∪MAL = 120°, АО = R, ∠MKL = 30° (рис. 6).

Найти: Vцил.

Решение:

1)

2) Из ΔMOL найдем ML: ∠MOL = ∪MAL = 120°. ΔMOL - равнобедренный, проведем ОА ⊥ ML. ОА ∩ ML = Н, ОН - высота, медиана и биссектриса ΔMOL.

3) Высоту цилиндра находим из ΔMKL: т. е. H = 3R.

4) Находим объем цилиндра.

(Ответ: 3πR3.)

Вариант II

№ 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма. АВ = ВС = 10, ∠ABC = 30° (АА1Н1H) ⊥ (СС1В1В). ∠AHA1 = 45° (рис. 7).

Найти: Vnp.

Решение:

3) Рассмотрим ΔАВН: ∠AHB = 90°, ∠ABH= 30°. Найдем АН. АН = 1/2АВ (катет, лежащий против угла в 30°), АН = 5.

4) Из ΔАА1Н находим высоту призмы. h = AA1. ΔАА1Н - прямоугольный и равнобедренный, т. е. AA1 = АН = 5.

(Ответ: 125.)

№ 2. Дано: цилиндр (MNKL) || OO’, ОН = 15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис. 8).

Найдите: Vцил.

Решение:

1) Рассмотрим получившееся сечение: так как плоскость параллельна оси цилиндра, то MN || OO’ и KL || OO’, т.е. MN || KL; ОО’ ⊥ основанию ⇒ MN ⊥ основанию и КО ⊥ основанию, кроме того NK || ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2) т.е.

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН ⊥ ML; ОН и есть расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ΔMOL,

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL:

5)

(Ответ: 3468π см3.)

III уровень

Вариант I

№ 1. Дано: АВСDА1В1С1D1 - прямая призма, ABCD - трапеция, SBB1C1C = 8 см2, SAA1D1D = 12 см2, BH = 5 см (рис. 9).

Найти: Vnp.

Решение:

1) Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD.

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда

(Ответ: 50 см3.)

№ 2. Дано: цилиндр, АВСDА1В1С1D1 - вписанная, правильная четырехугольная призма, B1D = d, ∠DB1B = р (рис. 10).

Найти: Vцил.

Решение:

1)

2) Из прямоугольного треугольника BB1D найдем высоту цилиндра: h = ВВ1 = B1Dcosβ, h = dcosβ.

3) Sосн. = πr2. Из ΔBB1D находим катет BD, который будет являться диаметром окружности описанной около квадрата ABCD.

4)

(Ответ: .)

Вариант II

№ 1. Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма, ABCD - трапеция. Vnp. = 40 см3, SBB1C1C = 6 см2, SAA1D1D = 14 см2 (рис. 11).

Найдите: BH.

Решение:

1) Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является также высотой трапеции ABCD.

2) Обозначим: а - верхнее основание трапеции, b - нижнее основание, h - высота призмы, тогда

3)

(Oтвет: 4 см.)

№ 2. Дано: цилиндр. АВСDEFА1В1С1D1E1F1 - правильная шестиугольная вписанная призма. AD1 = l, ∠AD1D = а (рис. 12).

Найти: Vцил.

Решение:

1)

2) Из ΔAD1D: DD1 = lcosa, т.е. h = lcosa.

3) Socн. = πr2. Из ΔAD1D находим катет AD, который является диагональю правильного шестиугольника и диаметром окружности:

4)

(Ответ: )