Вычисление объемов тел с помощью интеграла - Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цель урока:

- разъяснить учащимся возможность и целесообразность применения определенного интеграла для вычисления объемов тел.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Вывод формулы для вычисления объемов тел, основанной на понятии интеграла

1) Пусть тело Т, объем которого надо вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями α и β. Введем систему координат: - ось ох перпендикулярна α и β; а и b - абсциссы точек пересечения оси ох с этими плоскостями (а < b).

Рис. 1 на слайде (или заготовка на ватм. листе).

Считаем, что сечение Ф(х) плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х и перпендикулярно к оси ох, является кругом, либо многоугольником для любого х ∈ [а, b] (при а = х и b = х в сечение может вырождаться точка, например, при х = а).

2) Пусть S(x) - площадь Ф(x), зависимости S(x) - непрерывная функция на числовом отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на n равных отрезков точками и через точки с абсциссами xi проведем плоскости, перпендикулярные ох. Они разобьют тело Т на n тем: Т1...,Тn; - если сечение Ф(xi) - круг, то с основанием Ф(xi) и высотой - если Ф(xi) - многоугольник, то с основанием Ф(xi) и высотой Δxi. В любом случае:

Приближенное значение Vn объема тела Т точнее с увеличением n и уменьшением Δxi.

3) Причем

С другой стороны: сумма Vn - интегральная сумма для непрерывной функции S(x) на числовом отрезке [а, b].

Таким образом, получаем: - основная формула для вычисления объемов тел.

III. Отработка навыков по нахождению объемов тел с помощью интеграла

Решение задач: № 673, 674.

Задача № 673.

Сечение тела, изображенного на рисунке 175 плоскостью, перпендикулярной к оси ох и проходящей через точку с абсциссой х, является квадратом, сторона которого 1/x. Найти объем этого тела (рис. 2).

Дано: квадрат; а = 1/x. a ⊥ ох.

Найти: VT.

Решение:

VT найдем по основной формуле: так как в сечение квадрат. (Oтвет: V = 0,5.)

Задача № 674.

Фигура, заштрихованная на рис. 176 вращается вокруг оси ох. Найти объем полученного тела (рис. 3).

Решение: (Ответ: V = π/2.)

IV. Устная работа (по готовым чертежам)

Выполняется по группам, проверяется защитой одним из представителей группы у доски (можно на скорость, по принципу соревнования).

Можно сделать запись в тетрадь каждой задачи.

1) Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, ∠ACB = 90°, АВ = 10, АС = 6, A1С1 = СВ (рис. 4).

Найти: Vnp.

Решение: (по теореме Пифагора). (Ответ: 48√7.)

2) Дано: АВСDА1В1С1D1 - прямая призма, ABCD - ромб, AD = 12, ∠BAD = 60°, B1BDD1 - квадрат (рис. 5).

Найти: Vпр.

Решение: V = ВВ1 · SABCD · ВВ1 = BD (по определению квадрата), ΔABD - равносторонний (∠А = 60°, AB = AD): BD = AD = 12, BB1 = AD = 12. (Ответ: 864√3.)

3) Дано: АВСDА1В1С1D1 - прямая призма, ABCD - ромб, AD = 10, BK ⊥ AD, ВК = 5, B1K = 13 (рис. 6).

Найти: Vпр.

Решение: (по теореме Пифагора), SABCD = 5 · 10 = 50; V= 12 · 50 = 600. (Ответ: 600.)

V. Подведение итогов, вывод, оценки

Назовите известные вам способы вычисления объемов тел.

Домашнее задание

П. 67 (вывод формулы), № 675.