Площадь сферы - Объем шара и площадь сферы - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цели урока:

- вывести формулу для вычисления площади поверхности шара;

- научить учащихся применять эту формулу при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока.

II. Анализ ошибок самостоятельной работы

Подводятся итоги самостоятельной работы предыдущего урока и отмечаются типичные ошибки. Образцы решения задач, с которыми не справились учащиеся, проецируются на экран при помощи кодоскопа.

III. Актуализация знаний учащихся

- Проверка домашнего задания.

Разобрать решение задачи № 719 при помощи кодоскопа.

Задача № 719. В шаре проведена плоскость, перпендикулярная к диаметру и делящая его на части 6 см и 12 см. Найдите объемы двух полученных частей шара.

Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12 см (рис. 1). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента.

Найти: V1, V2.

Решение: СD ⊥ АВ, ЛМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента. Диаметр шара АВ = АМ + MB = 6 + 12 = 18 (см), R = 9 см. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: где h = AM - высота меньшего сегмента.

Объем шара равен: (Ответ: 252π см3 и 720π см3.)

IV. Изучение нового материала

Выведем формулу площади сферы S = 4πR2, которой пользовались без доказательства, используя формулу объема шара.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке О и описанный около нее многогранник, имеющий n граней. Пронумеруем грани в произвольном порядке и обозначим через S площадь i-й грани (i = 1, 2,..., n).

Соединим центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника и получим n пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой. Следовательно, объем i-й пирамиды равен а объем Vn всего описанного многогранника равен: где - площадь поверхности многогранника, Отсюда получаем

Будем неограниченно увеличивать n → ∞ так, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объем Vn описанного многогранника будет стремиться к объему шара, т. е.

В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит S, то описанный многогранник содержится в шаре радиуса R + δ с центром в точке О.

С другой стороны, описанный многогранник содержит исходный шар радиуса R. Поэтому Так как при δ → 0, то и при δ → 0 (n → ∞). Переходя к пределу в равенстве (*), получим

По определению площади сферы следовательно, или

V. Закрепление изученного материала

1. Вопросы № 12, 13, 14 к главе VII.

№ 12. Как изменится площадь сферы, если ее радиус: а) уменьшить в 2 раза? (Ответ: уменьшится в 4 раза.); б) увеличить в 3 раза? (Ответ; увеличится в 9 раз.)

№ 13. Отношение объемов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?

Решение: V1: (Ответ: S1 : S2 = 4.)

№ 14. В каком отношении находятся объемы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как m2 : n2?

Решение:

(Ответ: V1 : V2 = m3 : n3.)

2. Решить задачу № 722.

Задача № 722. Вода покрывает приблизительно 3/4 земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша? (Rземли = 6375 км).

Решение: (Ответ: 128 · 10 км2.)

3. Самостоятельно решить задачу.

Задача 1. Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?

Решение: (проецируем кодоскопом на экран рис. 2):

По теореме Пифагора имеем: Умножим обе части равенства на π, получаем: отсюда S = S1 + S2.

(Ответ: площадь поверхности шара, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей поверхностей шаров, построенных на катетах.)

4. Самостоятельно решить задачу (один из учащихся оформляет решение на прозрачном шаблоне для кодоскопа).

Задача 2. Полная поверхность конуса, осевое сечение которого является равносторонним треугольником, равна поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.

Дано: ΔАРВ - осевое сечение конуса, АВ = РВ = АР, РО — высота конуса, диаметр шара - D. Sкон. - площадь полной поверхности конуса, Sсф. - площадь поверхности шара (рис. 3).

Доказать: Sкон. = Sсф.

Доказательство:

1) В ΔAPB: - радиус конуса.

2) В ΔBOP: ∠POB = 90°, - образующая конуса.

3)

4)

5) Доказали, что Sкон. = Sсф.

5. Обсудить решение задачи 2.

Задать дополнительные вопросы на знание формул ученику, решившему задачу 2.

Оценить его работу.

V. Подведение итогов

Обобщить полученные знания по теме «Площадь сферы» с целью проверки усвоения учащимися изученного материала. Повторить формулы: объема шара объема шарового сегмента объема шарового сектора объема шарового слоя площади сферы или где R - радиус шара, сферы; h - высота сегмента, D - диаметр шара, сферы.

Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки наиболее активным.

Домашнее задание

П. 73 (знать формулы и ).

Решить задачи № 723, 724, 755.

Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора (п. 71-72).