ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ - урок 2

Цели: доказать свойство описанного четырехугольника и научить применять его при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. № 690 и № 693 (а) вынести решение на доску.

2. Решить устно.

1) Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если сторона треугольника 2.

2) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 10 см, 10 см, 12 см.

Решение

ВМ = = 8

ОМ = r, ВО = 8 – r

АВМ ОВK (угол В – общий).

; r = 3.

3) Найти периметр треугольника АВС.

4) АВСD – равнобедренная трапеция.

Найти: DС и АВ.

II. Изучение нового материала.

1. Рассмотреть свойство описанного четырехугольника.

2. Решение задачи № 697.

Пусть окружность радиуса r с центром О вписана в многоугольник А1А2 … Аn и пусть В1, В2, .., Вn – точки касания.

Тогда ОВ1 = ОВ2 = … = ОВn = r и ОВ1 А1А2, ОВ2 А2А3, .., ОВn А1Аn.

рr, где р – полупериметр многоугольника.

S = pr

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 695 (устно), № 698.

IV. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Вариант II

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

Докажите, что радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями а и b, равен .

Решение можно проверить в классе с помощью закрытой доски.

Вариант I

Используя решение задачи № 693, имеем РАВС = 2 (АС + r) = 2(10 + 2) = 24 (см).

SАВС = р · r = 12 · 2 = 24 (cм2).

Вариант II

Используя решение задачи № 693, имеем

АВ + ВС = AN + NB + MB + CM = АK + r + r + KС

АВ + ВС = АС + 2r; АС = АВ + ВС – 2r

РАВС = 2 (АС + r) = 2 (АВ + ВС – 2r + r)

РАВС = 2(17–2) = 30 (cм)

SАВС = р · r = 15 · 2 = 30 (cм2).

Вариант III

1) АВС + ВАД = 180°.

ВО и АО – биссектрисы.

ОАВ + ОВА = 90°, тогда АОВ = 90°.

2) ОК = .

V. Итоги урока.

1. АВСD – четырехугольник;

1) АВ + DС = АD + ВС, можно вписать окружность;

2) если вписана окружность, то АВ + DС = АD + ВС.

2. АВСD – равнобокая трапеция

1) АВ + DС = ВС + АD, если вписана окружность и наоборот.

2) 1 = 2 = 90°.

3) r = .

Для разносторонней трапеции выполняются только 1-е и 2-е свойства.

Домашнее задание: вопрос 23, с. 188; № 641, № 696, повторить решение задачи № 697.

Для желающих.

АВСD – трапеция, описанная вокруг окружности. АВ = СD, ВD = 5, SАВСD = 12.

Найти: РАВСD.

Решение

1) ВK = ВМ = ЕТ

KА = LD = DТ

2) Тогда ВK = ЕТ, KА = DТ.

3) Поэтому ЕD = АВ.

4) Пусть АВ = ЕD = х.

5) ВЕ = .

6) SАВСD = ∙ BE = ∙ BE = AB ∙ BE

SАВСD = x

122 = х2 (25 – х2)

144 = 25х2 – х4

х1 = 4, х2 = 3; АВ = 4, АВ = 3 не удовлетворяет условию задачи.

РАВСD = 4 АВ = 16.