Целые числа - ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА - КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Цели: напомнить основные сведения о целых числах и рассмотреть типичные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Какие числа называются натуральными?

2. Наименьшее общее кратное натуральных чисел.

3. Найти Х и Y, если число кратно 15.

4. Докажите, что число 12318 — 76 является составным.

Вариант 2

1. Простые и составные числа?

2. Наибольший общий делитель натуральных чисел.

3. Найти Х и Y, если число кратно 15.

4. Докажите, что число 23115 — 89 является составным.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

К целым числам относятся: натуральные числа (1, 2, 3, ...); числа, противоположные натуральным (-1, -2, -3,...) и число нуль (0). Множество целых чисел обозначают буквой Z.

Пример 1

Найти решения уравнения (5х – 3)(3х + 6)(2х - 4) = 0, которые являются целыми числами.

Левая часть уравнения является произведением трех сомножителей и т. к. такое произведение равно нулю, то один из сомножителей равен нулю. Поэтому надо рассмотреть три случая:

а) Первый сомножитель равен нулю, т. е. 5х — 2 = 0. Решаем это линейное уравнение: 5x = 2 и х = 2/5. Однако найденное решение не является целым числом и условию задачи не удовлетворяет.

б) Второй множитель равен нулю, т. е. 3х + 6 = 0 или 3х = -6 и х = -2. Это число действительно является целым числом и будет корнем уравнения.

в) Третий множитель равен нулю, т. е. 2х - 4 = 0 или 2х = 4 и х = 2. Это также целое число и является решением уравнения.

Итак, уравнение имеет два целых корня: х = -2 и х = 2.

В более сложных уравнениях левую часть предварительно надо разложить на множители.

Пример 2

Найти целочисленные решения уравнения х3 + 2х2 - 3х = 0.

Прежде всего, вынесем х за скобки: х(х2 + 2х - 3) = 0. Левая часть уравнения разложена на два множителя и их произведение равно нулю. Поэтому один из сомножителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) х = 0. Так как это целое число, то оно и является решением задачи.

б) х2 + 2х - 3 = 0. Далее это уравнение можно решать или как квадратное (см. тему 3) или разложить его левую часть на множители. Воспользуемся последним способом. Для этого представим 2х в виде: 2х = 3х - х и сгруппируем члены в левой части уравнения: х2 + 2х - 3 = х2 + 3х – х - 3 = (х2 + 3х) - (х + 3) = х(х + 3) - (х + 3) = (х + 3)(х - 1). После этого уравнение имеет вид: (х + 3)(х - 1) = 0. Поэтому снова надо рассмотреть два случая: или х + 3 = 0 (откуда х = -3), или х - 1 = 0 (откуда х = 1). Эти два числа являются целыми и также будут решениями задач.

Следовательно, уравнение имеет три целочисленных решения: х = 0, х = -3, х = 1.

Несколько более сложный подход используется при решении уравнений с двумя неизвестными: делимость целых чисел.

Пример 3

Найти такие целые значения х и у, которые являются решениями уравнения (х + 3)(у - 2) = 7.

Прежде всего, отметим, что если х и у — числа не целые, то уравнение имеет бесконечное множество решений. Например, возьмем любое значение х (пусть х = -0,5) и найдем для него у, которое является решением данного уравнения. Подставим х = -0,5 в уравнение: (-0,5 + 3)(у - 2) = 7 или 2,5(у - 2) = 7 или у - 2 = 2,8, откуда у = 4,8.

Однако, по условию задачи, числа х и у — целые. Поэтому числа (х + 3) и (у - 2) также целые. Левая часть уравнения представляет собой произведение двух целых чисел. Поэтому разложим и правую часть уравнения на произведение двух целых чисел: 7 = 1 · 7 или 7 = (-1) · (-7). Далее необходимо рассмотреть четыре случая:

а) откуда находим х = -2 y = 9.

б) и получаем х = 4 y = 3;

в) и имеем х = -4 у = -5;

г) и получаем х = -10 у = 1.

Таким образом, уравнение имеет четыре целочисленных решения: х = -2 у = 9, х = 4 у = 3, х = -4 у = -5, х = -10 у = 1.

В более сложных случаях левая часть уравнения раскладывается предварительно на множители.

Пример 4

Найти таких два целых числа, чтобы их сумма равнялась их произведению.

Пусть одно из этих чисел x, второе — у. Сразу получаем уравнение х + у = ху. Запишем уравнение в виде: х + у - ху = 0 и разложим его левую часть на множители: (x - xy) + y = 0, x(1 - y) + (y - 1) + 1 = 0, х(1 - у) - (1 - у) + 1 = 0, (1 – у)(х – 1) + 1 = 0 или (1 – y)(x - 1)= -1. Теперь левая часть уравнения разложена на множители и т. к x и у - целые числа, то и (1 - у), (x - 1) — целые числа. Правая часть также может быть представлена в виде произведения двух целых чисел: -1 = 1 · (-1). Далее рассмотрим два случая:

а) откуда находим х = 0 у = 0;

б) откуда находим х = 2 у = 2;

Итак, есть только две пары таких чисел: 0 и 0 или 2 и 2.

Достаточно часто подобные уравнения могут вообще не иметь целочисленных решений.

Пример 5

Доказать, что не существует таких целых чисел хну, которые являются решением уравнения х(х + 1) = 2у + 1.

В левую часть уравнения входят два последовательных целых числа х и (х + 1), поэтому одно из них будет четным. Следовательно, левая часть уравнения является числом четным. Правая часть при целых у является числом нечетным, т. к. имеет вид 2у + 1 (число при делении на 2 дает остаток 1).

Так как четное число не может равняться нечетному числу, то целых х и у, удовлетворяющих условию задачи, не существует.

Пример 6

На автобазе есть машины грузоподъемностью 7 т и 10 т. Надо перевезти 125 т груза, используя эти машины и загружая их полностью. Сколько и каких машин надо использовать? Как ограничиться наименьшим числом машин?

Пусть было взято х семитонных и у десятитонных машин. Тогда семитонные машины перевезут 7х тонн груза, десятитонные машины — 10у тонн. Получаем уравнение: 7х + 10у = 125. Найдем из этого уравнения у: Так как 12 — число натуральное, то у будет также натуральным, если дробь станет целым числом.

Это возможно, если целое число (5 - 7х) будет кратно 10. Легко подобрать натуральные х, удовлетворяющие этому условию: х = 5, 15, 25,... Однако у должно быть числом натуральным, поэтому 125 - 7х ≥ 0. Отсюда Следовательно, из подобранных х подходят только два: х = 5 (для него у = 9) и х = 15 (для него у = 2).

При этом в первом случае потребуется наименьшее число машин: х + у = 5 + 9 = 14. Действительно, по возможности (чтобы машины были полностью загружены) надо использовать минимальное число машин малой грузоподъемности и максимальное — большой, что и выполняется для первого случая.

Ответ: надо взять 5 семитонных и 9 десятитонных машин или 15 семитонных и 2 десятитонных машины: в первом случае будет использовано наименьшее число машин (14).

Пример 7

Докажите, что уравнение 49х3 - 63х2 + 56х - 456 = 0 не имеет целых корней.

Запишем уравнение в виде 49х3 - 63х2 + 56х = 456. В левой части уравнения все коэффициенты при различных степенях неизвестной х кратны 7. Поэтому при любом целом значении х значение выражения 49х3 - 63х2 + 56х кратно 7. В правой части уравнения находится число 456, которое делится на 7 с остатком 1. Получаем противоречие. Поэтому данное уравнение не имеет целых корней.

Пример 8

В оздоровительном детском лагере имеются четырехместные и восьмиместные комнаты. Можно ли разместить в лагере 426 детей так, чтобы в комнатах не было свободных мест.

Пусть детей удалось разместить, и было использовано х четырехместных и у восьмиместных комнат. При этом все места в комнатах заняты. Тогда в четырехместных комнатах будут расположены 4х детей, в восьмиместных комнатах — 8у детей. Так как общее число детей 426, то получаем уравнение 4х + 8у = 426. Числа х и у по условию целые. Поэтому числа 4х и 8у кратны 4. Следовательно, значение выражения 4х + 8у кратно 4. Правая часть уравнения 426 делится на 4 с остатком 2. Получаем противоречие. Поэтому уравнение 4х + 8у = 426 не имеет решений в целых числах. Итак, разместить детей требуемым образом не удается.

IV. Задание на уроке и на дом

1. Найти целочисленные решения уравнения:

Ответы: а) 2; б) -2 и 3; в) -3; г) -3 и 3.

2. Решить уравнение в целых числах:

Ответы: а) -3 и 1; б) -2 и 4; в) -1; г) 1; д) -2 и 0; е) 0 и 2 (указание: разложите на множители левую часть уравнения).

3. Найти целочисленные решения уравнения:

Ответы: а) (4; -1), (2; 1), (-2; -3), (0; -5);

б) (3; 4), (1; -6), (7; 0), (-3;-2);

в) (5; -2), (-9; -4), (-1; 4), (-3; -10);

г) (4; -1), (-2; -3), (2; 1), (0; -5);

д) (-3; 2), (3; -2), (7; -2), (-7; 2);

е) (4; -3), (-4; 3), (-4; 9), (4; -9).

(Указание: в, г — выразите любую неизвестную через другую; д, е — разложите левую часть уравнения на множители).

4. При каких целых значениях а дробь А также будет целым числом:

Ответы: а) ±1; ±2; ±4; б) ±1; ±3; в) 0; ±1; 2; г) ±1; д, е) таких а нет (указание: в выражении А выделите целую и дробную части).

5. Докажите, что уравнение не имеет целых корней:

Указание: учесть делимость коэффициентов уравнения.

6. Докажите, что на данной прямой нет ни одной точки с целочисленными координатами:

а) 123х + 612y = 2515; .

б) 104х + 316y = 7613;

в) 315х + 85y = 714;

г) 77х + 121у = 1376.

Указание: при целых значениях х и у: а) левая часть кратна 3, правая — делится на 3 с остатком; б) левая часть кратна 4, правая — делится на 4 с остатком; в) левая часть кратна 5, правая — делится на 5 с остатком; г) левая часть кратна 11, правая — делится на 11 с остатком.

7. При любом целом значении п найдите остаток от деления выражения на 5:

Ответ: а) 0; б) 3; в) 0; г) 4 (указание: раскройте скобки и упростите выражение).

8. Докажите, что при любом целом n

а) n(n + 1) делится на 2; .

б) n(n + 1)(n + 2) делится на 6;

в) n2 + 3n делится на 2; .

г) n3 - n делится на 6;

д) n7 - n делится на 6;.

е) n3 + 3n2 + 2n делится на 6.

Указание: а) n и n + 1 — два последовательных целых числа и одно из них делится на 2;

б) n, n + 1 n + 2 — три последовательных целых числа, одно из них кратно 2, другое — кратно 3;

в) записать в виде и показать, что одно из чисел n и n + 3 четное;

г) записать в виде и учесть указание б);

д) записать в виде и для чисел n - 1, n, n + 1 учесть указание б);

е) записать в виде и учесть указание б).

9. Докажите, что

а) n2 - 1 делится на 8, если n2 - 1 делится на 2;

б) n3 – 4n делится на 48, если n3 – 4n делится на 2.

Решение:

а) Очевидно, что n - 1 и n + 1 два последовательных четных числа. Тогда одно из них делится на 2, другое — на 4. Произведение таких чисел делится на 2 · 4 = 8.

б) Так как это число делится на 2, то n - 2, n, n + 2 — три последовательных четных числа. Тогда одно из них делится на 2, другое — на 4, третье — на 6. Произведение таких чисел делится на 2 · 4 · 6 = 48.

V. Подведение итогов урока