Поурочные разработки по алгебре для 8 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни - ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ - КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Цель: рассмотреть основные приемы преобразования иррациональных выражений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

2. Внесите множитель под знак корня.

3. Сравните значения выражений

Вариант 2

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

2. Внесите множитель под знак корня:

3. Сравните значения выражений

III. Изучение нового материала (основные понятия)

В процессе изучения были рассмотрены тождественные преобразования иррациональных выражений. К ним относятся: преобразования корней из произведения, дроби и степени; умножение и деление корней; вынесение множителя из-под знака корня; внесение множителя под знак корня. Рассмотрим другие примеры тождественных преобразований иррациональных выражений.

Пример 1

Упростим выражение

Данное выражение имеет смысл при а ≥ 0. Учитывая свойства корней, вынесем множители из-под знаков корня. Получаем

Заметим, что на последнем этапе в выражение были приведены подобные члены.

Пример 2

Преобразуем произведение

Умножим каждый член в первой скобке на каждый член во второй (аналогично произведению многочленов) и получим:

Заметим, что вычисления можно упростить, если из первой скобки вынести множитель 4 и использовать формулу разности квадратов. Получаем:

Пример 3

Сократим дробь

Учтем, что Тогда числитель дроби можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов. Получаем:

Пример 4

Сократим дробь

Разложим на множители числитель дроби, используя формулу разности квадратов, и знаменатель дроби, используя формулу квадрата разности. Получаем:

Достаточно часто приходится избавляться от иррациональности в знаменателе (или числителе) дроби. Для этого числитель и знаменатель умножают на сопряженную величину, т. е. такую величину, чтобы знаменатель (или числитель) не содержал иррациональных выражений.

Пример 5

Избавимся от иррациональности в знаменатели дроби .

Очевидно, что знаменатель дроби не будет содержать знака квадратного корня, если числитель и знаменатель дроби умножить на величину (которая является величиной, сопряженной знаменателю, в этом случае).

Получаем: Мы заменили дробь (содержащую иррациональность в знаменателе) тождественно равной дробью (которая уже не содержит иррациональности в знаменателе). Тем самым мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример 6

Избавимся от иррациональности в числителе дроби

Чтобы избавиться от иррациональности в числителе дроби , надо умножить числитель и знаменатель на величину (которая является сопряженной числителю величиной). При этом в числителе возникает разность квадратов чисел, которая и приводит к исчезновению квадратных корней в числителе. Получаем: Таким образом, дробь (содержащая иррациональность в числителе) была заменена тождественно равной дробью (которая не содержит иррациональности в числителе). Тем самым мы избавились от иррациональности в числителе.

Заметим, что подобные навыки избавления от иррациональности полезны и при решении более сложных задач.

Пример 7

Найдем сумму дробей

В каждой дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив ее числитель и знаменатель на величину, сопряженную знаменателю. Получаем:

Видно, что после избавления от иррациональности знаменатели всех дробей равны 1. В полученной сумме сокращаются все слагаемые, кроме -√1 и √36. В итоге получаем, что сумма всех данных иррациональных дробей равна натуральному числу 5.

Пример 8

Найдем наибольшее значение дроби

Допустимые значения переменной в данной дроби a ≥ 3, a ≠ 4. Избавимся от иррациональности в числителе дроби А, умножив ее числитель и знаменатель на сопряженную величину . Получаем: Так как числитель не зависит от переменной, а знаменатель — зависит, то дробь принимает наибольшее значение, если имеет наименьший знаменатель . По определению арифметического квадратного корня Тогда наименьшее значение знаменателя равно 1 и достигается при a = 3. Следовательно, наибольшее значение данной дроби А равно 1 и достигается при а = 3.

При преобразовании иррациональных выражений часто полезно ввести новую переменную (сделать замену переменной).

Пример 9

Упростим выражение

Видно, что в данное выражение входит или величина или обратная ей величина Поэтому введем новую переменную (очевидно, ), тогда После этого данное выражение имеет вид: Теперь подставим значение х2 и получим: Итак, данное выражение равно a/2.

IV. Задание на уроке

№ 418 (а, е); 420 (г); 422 (д); 423 (а, д); 425 (б, д); 427 (в, д); 429 (в, е); 431 (д); 433 (в, д).

V. Задание на дом

№ 418 (б, ж); 421 (в); 422 (е); 423 (б, е); 425 (в, е); 427 (г, е); 429 (г, и); 431 (е); 433 (г, е).

VI. Творческие задания

1. Сравните значения числовых выражений:

Ответы: а-г) A < В; д) А > В; е) А < В. Указания: а, б) для числа А выполните действия; в, г) умножьте и разделите числа А и В на сопряженные; д, е) избавьтесь от иррациональности в знаменателе числа А.

2. Найдите наибольшее значение выражения. При каком значении a оно достигается?