Поурочные разработки по алгебре для 8 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Свойства степени с целым показателем - СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА - СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Цель: изучение свойств степени с целым показателем и их использование при решении задач.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Представьте в виде дроби выражение

Ответы:

2. Найдите значение выражения

Ответы:

3. Упростите выражение

Ответы:

Вариант 2

1. Представьте в виде дроби выражение

Ответы:

2. Найдите значение выражения

Ответы:

3. Упростите выражение

Ответы:

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Наводящими вопросами (путем фронтального опроса) подведите учащихся к изучению этой темы. Для этого:

1. Попросите сформулировать свойства степени с натуральным показателем (вспомнить материал 7-го класса).

2. На примерах предложите проверить, выполняются ли эти свойства в случае отрицательных целых показателей степени (с очевидным ограничением а ≠ 0, b ≠ 0).

Пример 1

(свойство 1).

(свойство 4).

На основании этих примеров можно высказать гипотезу, что свойства 1-5 выполняются и в случае степени с целым отрицательным показателем.

3. Предложите учащимся доказать, например, свойства 1 и 4 в случае степени с целым отрицательным показателем.

Пример 2

Докажем свойство 1, т. е. (где m и n — целые отрицательные числа, а — любое число (а ≠ 0)).

По определению степени с целым отрицательным показателем запишем Числа (-m) и (-n) являются уже натуральными. Поэтому по свойству степеней с натуральными показателями получаем: На заключительном этапе вновь было использовано определение степени с целым отрицательным показателем.

Пример 3

Докажем свойство 4, т. е. (где n — целое отрицательное число, а и b — любые числа (а ≠ 0, b ≠ 0).

По определению степени с целым отрицательным показателем запишем Число (-n) будет уже натуральным. По свойству степеней с натуральными показателями имеем: В конце снова было использовано определение степени с целым отрицательным показателем.

Таким образом, свойства 1-5 (для натуральных показателей степени) можно обобщить и на случай целых отрицательных показателей степени.

Пример 4

Преобразуем выражения:

а) Учтем, что при умножении чисел с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются. Получаем:

б) При делении чисел с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются. Имеем:

в) При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Получаем:

г) При возведении в степень дроби возводят в эту степень ее числитель и знаменатель и результаты делят. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Имеем: