Треугольник - Урок 2 - Планиметрия - Геометрия - Повышенный уровень 3

1412. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка Р, отстоящая от катетов на расстоянии 40/11 и 36/11. Найдите катеты АС и ВС, если площадь треугольника АВС равна 30.

1413. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и ВС взяты точки М и N соответственно так, что отрезок МN параллелен основанию АС. Найдите высоту трапецииAMNC, проведённую из точки N, если AN = 13, Samnc = 60.

1414. Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4, 5, 6.

1415. Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9, 18 и 21.

1416. Площадь треугольника АВС равна 18. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника.

1417. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника, если основание треугольника 16, а боковая сторона равна 17.

1418. Высота треугольника CDE, проведённая из вершины D, в 1,4 раза больше диаметра вписанной в этот треугольник окружности. Известно, что площадь треугольника равна 84, сторона СЕ = 15. Найдите сторону CD.

1419. Дан равнобедренный треугольник АВС, где АВ = АС = 12, sin ∠BAC = 1/3. Найдите радиус описанной около ∆АВС окружности.

1420. Дан равнобедренный треугольник АВС, где АВ = АС = 8. Высота, опущенная на боковую сторону, равна 4. Найдите ВС.

1421. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на стороне АВ выбрана точка Р, а на продолжении основания за точку А — точка Q так, что ∠BQC = ∠PCA. Найдите площадь треугольника PQC, если площадь треугольника АВС равна 13.

1422. Основания высот треугольника со сторонами 5, 6, 7 являются вершинами другого треугольника. Найдите периметр последнего.

1423. Основания высот треугольника со сторонами 4, 8 и 10 являются вершинами другого треугольника. Найдите периметр последнего.

1424. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, которое в 4 раза меньше периметра АВС. Из произвольной точки Р основания АС проведены прямые РК и PL, параллельные боковым сторонам. Аналогично из некоторой точки Q стороны АС проведены прямые QT и QN (К, Т ∈ АВ; L, N ∈ ВС). Точка О — точка пересечения PL и QT. Известно, что АР = 2QC и периметры четырёхугольника BLOT и треугольника POQ относятся как 7:4. Найдите отношение QC : АС.

1425. В треугольнике АВС проведены медианы СМ и AN. Из некоторой точки К стороны АС проведены прямые КР и KQ соответственно, параллельные этим медианам (Р ∈ АВ, Q ∈ ВС). Найдите соотношение, в котором СМ и AN делят отрезок PQ на три части, если точка пересечения медиан О и отрезок АС лежат по разные стороны прямой, содержащей PQ (не проходящей через О).

1426. В ∆АВС на стороне ВС как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АС в точке К. К делит сторону АС на отрезки длиной 5 и 1. На стороне ВС взята точка D так, что AD и В К пересекаются в точке О и BD = 10, DC = 9. Найдите длину ОК.

1427. В прямоугольнике KLMN меньшая сторона равна 4. Отрезок делит прямоугольник на два квадрата, в каждый из которых вписана окружность. Обе окружности лежат внутри равностороннего треугольника АВС, причём каждая сторона этого треугольника касается хотя бы одной из окружностей. Найдите АВ, если точки А, В, К, L лежат на одной прямой.

1428. Треугольник А₁В₁С₁ получен из треугольника АВС параллельным переносом (при этом А перешло в А₁, В — в В₁). А₁ лежит на отрезке ВС. Окружность проходит через те вершины треугольников АВС и A₁B₁C₁, которые не являются их общими точками. Найдите все возможные значения длины АВ, если ВС = 6, АС = АВ.